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Derivadas

La derivada de una función puede interpretarse geométricamente como la pendiente de una curva, y físicamente como una razón “instantánea” de cambio. Hay el uso de dos importantes teoremas que representan técnicas útiles para resolver derivar funciones complicadas.

TEOREMA No 1

(LA REGLA DEL PRODUCTO)

TEOREMA No 2

(REGLA DE COCIENTE)

En términos verbales, la derivada del producto de dos funciones es igual a la primera función por la derivada de la segunda más la segunda función por la derivada de la primera

La derivada del cociente de dos funciones es igual al denominador por la derivada del numerador menos el numerador por la derivada del denominador todo dividido entre el cuadrado del denominador

Calcule y´ si y =(5x 2-3x)(2x3+8x+7)

Y’=uv’+vu’

= (5x2-3x)(6x2+8)+(2x3+8x+7)(10x-3)

=50x4-24x3+120x3+22x-21

Calcule y´ si y’= x2+1/x2+4

Y’=u’v-uv’/u2 = (x3 +4)(2x)-(x2 +1)(3x2 )

(x3 +4)2

=2x4 +8x-(3x4 +3x2 ) = -x4 -3x2 +8x

(x3 +4)2 (x3 +4)2

LA REGLA DE LA CADENA

Se puede escribir como y=f[g(x)]. que representa y como una funcion de x denominada composicion de f y g se desarrola con el siguiente teorema

TEOREMA No1. (REGLA DE LA CADENA)

dy/dx=dy/du.du/dx

la regla de la cadena representa la que probablemente es la formula mas util de todas las herramientas de diferenciacion .

calcular dy . Y=(xele2+1)ele5

y=uele5 donde. u=xele2+1

por la regla de la cadena se sigue

dy/dx=dy/du . du/dx= 5uele4.2x=5(xele2+1)ele4 . 2x=10x(xele2+1)ele4

DERIVADAS DE FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS

f'(x)=lim/ax-0 f(x+♠x)-f(x)/♠x

la razon de que la funcion exponencial natural sea tan importante descansa de que su derivada siempre es igual a la funcion misma . si y = e', entonces dy/dx=e'

DERIVADAS DE ORDEN SUPERIROR

S​​​​ea f una función diferenciable, entonces se dice que f ' es la primera derivada de f; puede suceder que esta nueva función sea a su vez derivable, en este caso a la derivada de la primera derivada se le denomina segunda derivada de la función primitiva f. Del mismo modo, la derivada de la segunda derivada se llama tercera derivada de f, y así sucesivamente hasta la enésima derivada.

aceleracion = du/dt=d/dt (ds/dt)