booleano

MAEMÁTICAS DISCRETAS

Estudia

Álgebra booleana

Funciones y optimización de expresiones

Operaciones básicas

Postulados

Teoremas

Definiciones

Optimización de expresiones booleanas

Diagramas de Karnaugh

Abarca

Abarca

son

son

son

son

son

Pasos

+ (suma, OR, O, disyunción)

* (producto, AND, Y, conjunción)

Negación (NOT, opuesto, complementación)

1.- El álgebra booleana es un sistema algebraico definido en un conjunto B, el cual tiene 2 o más elementos y entre los cuales se definen dos operaciones denominadas + (OR) y * (AND).

2.- Existencia de neutros. para la suma es 0, para la multiplicación es 1.

3.- Conmutabilidad. a) x+y = y+x b) xy = yx

4.- Asociatividad. a) x+(y+z)=(x+y)+z b)x(yz)=(xy)z

5.- Distributividad. a) x+(yz)= (x+y)(x+z) b) x(x+z)=(xy)+(xz)

6.- Existencia de complementos. a) x+x,=1 b)x*x,=0

1.- Multiplicación por cero. a) A0=0 b) A+1=1

2.- Absorción. a) A+AB=A b) A(A+B)=A

3.- Cancelación. a) A+AB=A+B b) A(A+B)=AB

4.- Cancelación. a) AB+A,B=B b) (A+B)(A,+B)=B

5.- Idempotencia. a) AA=A b) A+A=A

6.- Consenso. a) AB+A,C+BC=AB+A,C b) (A+B)(A,+C)(B+C)=(A+B)(A,+C)

7.- Teorema de Morgan. a) A,B,=A+B, b) A,+B,=A,B,

8.- Involución. a) A,,=A

9.- Complementos de los neutros. a) 0,=1 b)1,=0

ÁLGEBRA DE BOOLE: conjunto de elementos "B" que pueden asumir dos valores posibles (0 y 1) y que están relacionados por dos operaciones binarias: suma (+) y producto (*).

EXPRESIÓN BOOLEANA: determinan si un conjunto de una o más condiciones es verdadera o falsa y el resultado de su evaluación es un valor de verdad.

FUNCIONES EN EL ÁLGEBRA DE BOOLE: una función es una variable binaria cuyo valor depende de una expresión algebraica, en la que se relacionan entre sí variables binarias por medio de operaciones básicas de suma y producto lógico.

MINITÉRMINO: expresión lógica que se compone de variables y los operadores lógicos AND y NOT.

MAXITÉRMINO: expresión lógica que se compone de variables y los operadores lógicos OR y NOT.

Expresión booleana: determina la verdad o falsedad de un conjunto, el resultado de su evaluación es un valor de verdad.

Forma general de una expresión relacional

a) Se identifican entradas y salidas del circuito asignando una letra a cada una.

b) Se dividen en dos grupos con igual número, en caso de ser impar se hace un grupo de uno y otro de 2.

c) Se dibuja una cuadrícula, se determinan las filas y columnas de la siguiente manera: filas = 2 elevado al número de entradas del primer grupo; columnas = 2 elevado al número de entradas del segundo grupo.

d) En la primera línea se escriben las diferentes combinaciones que pueden tener las entradas.

e) En las columnas se escriben las combinaciones del segundo grupo.

f) Insertar "1" o "0" en las casillas de la cuadrícula según la intersección de fila y columna que representan un estado de entrada y salida.

g) Se introduce la combinación para cada casilla.

h) Análisis: agrupar "1" en la cuadrícula en posiciones contiguas horizontal y verticalmente, nunca en diagonal. También son válidos los casos en que los "1" estén a los extremos pero dentro de una misma línea.

i) Síntesis: transcribir la cuadrícula a la fórmula matemática que describe el circuito resultante.

j) La salida consiste en la suma de todos los términos que se extraen del diagrama.

Se define

Propiedades

Se define

Propiedades

Son

0+0=0

0+1=1

1+0=1

1+1=1

A+A=A

1+A=1

0+A=A

0*0=0

0*1=0

1*0=0

1*1=1

A*A=A

A*0=0

A*1=A

Negación a 0=1

Negación a 1=0

Partes

Expresión 1

Operador de relación

Expresión 2

Puede ser

Puede ser

Puede ser

Una expresión numérica o de cadena

Igual (=)

No igual (/=)

Menor que (<)

Menor o igual que (<=)

Mayor que (>)

Mayor o igual que (>=)

Contiene (: expresión de cadena)

Expresión numérica o en cadena