Willy Dilone

Conjuntos Numéricos

Clasificaciones

Números Naturales (N)

Son los números que se usan para contar los elementos de un conjunto. Reciben ese nombre porque son los primeros que surgen en las distintas civilizaciones y que utilizó el ser humano para contar objetos. El conjunto de los números naturales se representa por N y corresponde a N=(1, 2, 3, 4, 5,...).

Propiedades de los Números Naturales

1. Es un conjunto ordenado; es decir, entre sus elementos podemos establecer la relación de orden “menor que”, “mayor que” o “igual a”.

2. A todo número natural siempre le sigue otro número natural.

3. El conjunto de los números naturales es infinito, es decir, no hay un último número natural.

4. Entre dos números naturales consecutivos no existe ningún otro número natural.

5. las operaciones internas en el conjunto de los números naturales son la suma y la multiplicación, ya que siempre que se sume o se multipliquen dos números naturales el resultado es otro número natural.

Números Enteros (Z)

El conjunto de los números enteros es una extensión de los números naturales que surgió por la necesidad de plantear cualquier tipo de sustracción (resta). Con los números naturales no podemos efectuar restas donde el minuendo es menor que el sustraendo, (por ejemplo 5 – 9).

Los números enteros poseen las mismas propiedades de los naturales y además de la suma y la multiplicación, la resta es una operación interna en este conjunto.

Números Irracionales (Q´)

Números Racionales (Q)

Al dividir un número entero entre otro entero el resultado no siempre es un entero. Por esta razón hubo la necesidad de extender el conjunto Z de forma que se pudieran realizar todo tipo de divisiones (donde el divisor es diferente de cero). Este nuevo conjunto es el de los números racionales que se representa por Q. Es decir, un número es racional si se puede expresar como el cociente indicado de dos números enteros, o sea en forma de fracción.

Propiedades de los Números Racionales

1. Es un conjunto ordenado e infinito.

2. Es un conjunto denso, esto significa que entre dos números racionales cualesquiera siempre podemos encontrar infinitos números racionales.

3. Las operaciones internas en el conjunto de los números racionales son la suma, la resta y la multiplicación. La división es interna si no tomamos en cuenta el cero, ya que la división entre cero no está definida.

Hay otros números que no pueden expresarse como el cociente de dos enteros, es decir, no son racionales. Estos forman el conjunto de los Números Irracionales. A este conjunto pertenecen las raíces inexactas, los decimales infinitos NO periódicos y algunos números trascendentes como π, e, etc.

Números Reales (R)

La unión de los números racionales y los irracionales da origen a otro conjunto numérico, los reales.

Propiedades de los Números Reales

1. Es un conjunto ordenado e infinito.

2. Es un conjunto denso, esto significa que entre dos números reales cualesquiera siempre podemos encontrar infinitos números reales.

3. Las operaciones internas en el conjunto de los números reales son la suma, la resta y la multiplicación. La división es interna si no tomamos en cuenta el cero, ya que la división entre cero no está definida.

Propiedades de las Operaciones con Números Reales

Las operaciones con números reales cumplen las siguientes propiedades: (en cada caso a b c , y son números reales).

1. Ley uniforme, de cerradura o clausurativa (operación interna): esta propiedad se cumple para las operaciones que dado dos números reales el resultado de la operación también es un número real.

2. Conmutativa: esta propiedad se cumple para las operaciones donde no importa el orden en que se efectúan.

3. Asociativa: esta propiedad se cumple para las operaciones donde no importa la forma en que se asocien dos a dos los números que se operan.

4. Identidad o elemento neutro: todo número real que se sume con cero o se multiplique por uno (1) da como resultado el mismo número.

5. Simétrico o inverso:

a) Inverso aditivo u opuesto: siempre que se suma un número real con su opuesto el resultado es el elemento neutro de la suma (cero).

b) Inverso multiplicativo o recíproco: siempre que se multiplica un número real, diferente de cero, por su recíproco el resultado es el elemento neutro de la multiplicación (1).

6. Distributiva:

a) De la multiplicación respecto a la suma y la resta: la multiplicación distribuye a la suma y a la resta.

b) De la división respecto a la suma y la resta: la división distribuye a la suma y a la resta, pero sólo por la izquierda.

c) De la potenciación con respecto a la multiplicación y la división: la potenciación distribuye a la multiplicación y a la división.

d) De la radicación con respecto a la multiplicación y la división: la radicación distribuye a la multiplicación y a la división.

Números Complejos (C)

Un número complejo, es una entidad matemática que viene dada por un par de números reales, el primero x se denomina la parte real y al segundo y la parte imaginaria. Los números complejos se representa por un par de números entre paréntesis (x, y), como los puntos del plano, o bien, en la forma usual de x+yi, i se denomina la unidad imaginaria, la raíz cuadrada de menos uno.

Los Vectores

Espacio Vectorial

Un conjunto no vacío V junto con dos operaciones + y . , suma vectorial y multiplicación por escalar respectivamente, forman un espacio vectorial sobre un campo numérico K.

4. Vectores en R¨:

4.1. Definición de puntos en el espacio n-dimensional: Para representar un punto en una recta, cuando se ha seleccionado la unidad de longitud, podemos utilizar un número real x.

4.2. Vectores en R2 y R3:

Sean P y Q dos puntos del plano, entonces al segmento de recta que va desde P hasta Q se le denomina segmento de recta dirigido de P a Q y de denota por PQ, siendo P el punto inicial y Q el punto final.

4.2.2. Definición de vector:

Desde el punto de vista geométrico, al conjunto de todos los segmentos de rectas dirigidos equivalentes se le llama vector y a cualquiera de ellos se le denomina una representación del vector.