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La idea y definición de límite, en especial la del límite de funciones reales, es una cuestión matemáticamente delicada. Piénsese que se logro la Idea intuitiva de límite con la definición actual recién en la segunda mitad del siglo XIX. El abordaje de este tema ofrece dificultades de índole técnico-didáctica que hace que la comprensión fina de éste ocurra en etapas sucesivas y posteriores, cuando el estudiante logre una madurez matemática suficiente.

En la primera etapa del siglo XX el tratamiento del concepto de límite en los libros españoles estaba ligado a los conceptos de sucesión y variable. Además la idea de infinitésimos estaba implícitamente subyacente en ella y, efectivamente, el lenguaje de infinitésimos se utilizaba abundantemente a lo largo del tema. La definición del límite funcional real de una variable real a partir de sucesiones de números reales, fue usada en los libros hispánicos hasta aproximadamente 1965. En esta época esta definición fue completada con una interpretación geométrica del límite de una función en un punto, la cual utilizó entornos simétricos.

Como es bien conocido, a comienzos de los años setenta, triunfo en casi todo el mundo occidental la enseñanza de las llamadas “matemáticas modernas”. Siguiendo los libros españoles las ideas de esta matemática, los conjuntos y las aplicaciones eran los cimientos sobre los que se pretendía construir el edificio de la matemática, y las estructuras, las herramientas para construir dicho edificio. Estas ideas se vieron reflejadas en el tratamiento.

De la Idea intuitiva de el límite: la orientación topológica, no fue casual sino que fue justamente la preconizada por los pioneros de la reforma de la matemática, Papy y Dieudonne entre otros, de acuerdo con las ideas bourbakistas. Por ello los conceptos de conjunto, número real y entorno se utilizaban constantemente.

En la segunda mitad del siglo XX, aproximadamente entre 1967 y 1975, la definición de límite fue evolucionando hasta un mayor formalismo. En algunos libros españoles se enfatizo la definición por sucesiones, aunque también apareció de modo residual la definición topológica que utilizó entornos generales; en cambio en otros textos del mismo país la Idea intuitiva de límite se enfatizó la definición topológica y se quiso conducir progresivamente al alumno a partir de ciertos ejemplos hasta dicha definición.

En la primera etapa del siglo XX el tratamiento del concepto de límite en los libros españoles estaba ligado a los conceptos de sucesión y variable. Además la idea de infinitésimos estaba implícitamente subyacente en ella y, efectivamente, el lenguaje de infinitésimos se utilizaba abundantemente a lo largo del tema. La definición del límite funcional real de una variable real a partir de sucesiones de números reales, fue usada en los libros hispánicos hasta aproximadamente 1965. En esta época esta definición fue completada con una interpretación geométrica del límite de una función en un punto, la cual utilizó entornos simétricos.