Determinantes Mapa Conceptual

DETERMINANTES

Son:

Una función o notación matemática formada por una tabla cuadrada de números entre dos líneas

verticales, de esto se pueden deducir importantes propiedades de los elementos que lo componen,

tiene además muchas aplicaciones en la Geometría y el Álgebra.

Determinantes n x n

Existen:

Algunas de sus propiedades son:

DETERMINANTES DE ORDEN 2 (ASOCIADOS A MATRICES

2X2)

DETERMINANTES DE ORDEN 3 (ASOCIADOS A MATRICES 3X3)

DETERMINANTES DE ORDEN SUPERIOR A 3 (ASOCIADOS A MATRICES nxn con n>3)

Cuando A es una matriz 2x2 hay 2! = 2 permutaciones del par (1 2); estas son: {(1 2), (2 1)}

Si A es una matriz 3x3, su determinante (de orden 3) vendrá dado por:

En el caso de determinantes de orden superior a 3 la expresión tiende a

complicarse, por lo que recurriremos al método de desarrollo por adjuntos

para su calculo. Primero que todo fijemonos en la disposicion de signos

siguientes (similar a las casillas blancas y negras en

un tablero de ajedrez)

1.Elegir aquella fila o columna que tenga el mayor numero de ceros (si ninguna linea tiene

ceros, se toma una linea cualquiera).

2.Cada uno de los elementos de la linea dara lugar a un sumando, el cual se

obtendrá como se explica en el paso siguiente

3. Para cada elemento de la línea seleccionada, este se multiplica por su

correspondiente determinante adjunto (aquel determinante resultante de eliminar

la fila y la columna a las que pertenece el elemento seleccionado). A dicho adjunto

le predecera el signo que corresponda a la posicion ocupada por el elemento

seleccionado (según la tabla de signos arriba indicada))

1. Una matriz cuadrada con una fila o una columna en la que todos los elementos son nulos tiene un determinante igual a cero.

2. El determinante de una matriz con dos filas o dos columnas iguales es nulo.

3. Cuando dos filas o dos columnas de una matriz son proporcionales entre sí (una se puede obtener multiplicando la otra por un factor), su determinante es cero.

4. Al intercambiar dos filas o dos columnas de una matriz, su determinante cambia de signo.

5. Al multiplicar todos los elementos de una fila o una columna de una matriz por un número, el determinante de la matriz resultante es igual al de la original multiplicado por ese mismo número.

6. El determinante de una matriz triangular o una matriz diagonal es igual al producto de los elementos de su diagonal principal.

7. Cuando a una fila (o columna) de una matriz se le suma o resta una combinación lineal de otras filas (o columnas), el valor de su determinante no se altera.