Matrizes

Matrizes

1. Matriz é uma tabela organizada em linhas e colunas no formato m x n, onde m representa o número de linhas (horizontal) e n o número de colunas (vertical).

   • Representação
     • Na representação de uma matriz, os números reais geralmente são elementos inseridos entre colchetes, parênteses ou barras.
       • EXEMPLO
         • Venda dos bolos de uma confeitaria no primeiro bimestre do ano.
         • • • Essa tabela apresenta dados em duas linhas (tipos de bolo) e duas colunas (meses do ano) e, por isso, trata-se de uma matriz 2 x 2. Veja a representação a seguir:
     • Elementos
       • Composta por elementos aij, em que i representa o número da linha e j o número da coluna que localizam o valor.
   • A função das matrizes é relacionar dados numéricos. Por isso, o conceito de matriz não é só importante na Matemática, mas também em outras áreas já que as matrizes têm diversas aplicações.

2. Tipos

   • Matriz coluna
     • É a matriz que possui uma única coluna, ou seja, tem ordem n×1.
     • Matriz nula
       • São as matrizes com todos elementos iguais a 0.
       • Matriz quadrada
         • É a matriz que possui o número de linhas igual ao número de colunas, ou seja, tem ordem n×n. Podemos dizer que a matriz é “quadrada de ordem n”.
   • Matriz linha
     • É a matriz que possui uma única linha, ou seja, tem ordem 1×n.
   • Matriz identidade
     • São as matrizes quadradas onde a diagonal principal é composta por elementos de valor 1 e todos os outros elementos são 0. Chamamos estas matrizes deIn.

3. Operações com matrizes

   • ADIÇÃO
     • (A + B = [aij + bij] mxn) Para que possamos somar duas matrizes A e B, elas devem ser de mesma ordem. A matriz C, resultado da soma, é uma matriz de mesma ordem de A e B, obtida somando-se os elementos de mesma posição em A e B: cij=aij+bij
       • • Propriedades
           • Comutativa: A+B=B+A
             • Associativa: (A+B)+C=A+(B+C)
               • Elemento oposto: A+(-A)=(-A)+A=0
                 • Elemento neutro: A+0=0+A=A, se 0 for uma matriz nula de mesma ordem que A.
   • SUBTRAÇÃO
     • (A – B = [aij – bij] mxn) Indica-se a subtração de matrizes A e B resultando na matriz C por: C=A-B Analogamente à soma, para que a subtração de matrizes possa ser realizada, elas devem ser de mesma ordem. A matriz C, resultado da subtração, é uma matriz de mesma ordem de A e B, obtida subtraindo-se os elementos de mesma posição emA e B: cij=aij-bij
       • • Neste caso, realizamos a soma da matriz A com a matriz oposta de B, pois reto A espaço menos espaço reto B espaço igual a espaço reto A espaço mais espaço parêntese esquerdo menos reto B parêntese direito.
         • Propriedades
           • Distributiva à direita: (B+C).A=B.A+C.A
             • Distributiva à esquerda: A.(B+C)=A.B+A.C
               • Associativa: A.(B.C)=(A.B).C
               • Elemento neutro:A.In=In.A=A, , onde In é a matriz identidade
   • MULTIPLICAÇÃO
     • De matrizes
       • Na multiplicação de matrizes, realizaremos operações com LINHAS e COLUNAS para encontrarmos o resultado. Indicaremos o produto de duas matrizes AeB por: C=A.B
         • Como decorrência da definição, o produto de duas matrizes A e B só vai existir se o número de colunas da matriz A for igual ao número de linhas da matriz B.
           • • Além disso, a matriz C resultante sempre terá o mesmo número de linhas de A e o número de colunas de B:
               • • E, para encontrarmos o elemento cij realizaremos a soma dos produtos dos elementos da linhai da matriz Apelos elementos da colunaj da matriz B.
     • De um Número por uma Matriz
       • Indica-se o produto de um número real k por uma matriz A por: B=k.A A matriz B resultante é obtida pela multiplicação de cada elemento da matriz A por esse número k: bij=k.aij

4. Transposta

   • Dada uma matriz A de ordem m×n, chamamos deAt a matriz transposta deA. As linhas de A serão as colunas de At, na ordem original, ou seja, a primeira linha de A será a primeira coluna de At, a segunda linha deAserá a segunda coluna de At e assim por diante.

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