Progressão Aritmética (PA)

Progressão Aritmética (PA)

1. Introdução

   • Observe a seguinte sequência:
     • (4, 7, 10, 13, 16, 19, ...)
       • Estes números são os termos da sequência.
         • O 4, que é o primeiro termo e normalmente ele aparece sendo identificado como a1.
           • O 7, que é o segundo termo e normalmente ele aparece sendo identificado como a2.
             • O 10, que é o terceiro termo e normalmente ele aparece sendo identificado como a3.
               • E por ai vai ....
                 • Existe uma diferença entre o primeiro termo e o segundo e depois do segundo ao terceiro e assim por diante, essa diferença é de 3 unidades.
                   • Essa diferença constante entre todas as unidades dessa sequência é o que caracteriza a progressão aritmética, e essa diferença é chamada de razão, a razão é representada, normalmente pela letra r.
                     • Nessa sequência há uma progressão aritmética onde a razão é 3.

2. Definição:

   • Uma PA é uma sequência em que casa termo, a partir do segundo, é a soma do anterior com uma constante r (razão) dada.
     • Exemplos:
       • (1, 3, 5, 7, 9 ...) Para descobrirmos a razão é só escolher um termo e subtrair um termo anterior: r = 7 - 5 → r = 2
         • (0, -2, -4, -6, -8, ...) r = -6 – (-4) → r = - 6 + 4 → r = -2
           • (3, 3, 3, 3, 3, ...) Como esses números são iguais a razão é 0. r = 0
             • O denominador dessas frações é o mesmo e a diferença entre o numerador é 4. r
               • Sendo assim a razão é 1.

3. Interpolação Aritmética

   • Interpolar meios aritméticos entre dois números dados, significa inserir números de tal forma que a sequência gerada seja uma PA. Vejamos:
     • (2, __ , __ , __ , 10)
       • Nós só conhecemos o a_1e o a_4
         • Os números inseridos (interpolados) serão 4, 6 e 8. Sendo assim sabemos que a razão é 2.
           • É possível perceber que os números interpolados é exatamente igual ao número as PA menos 2.
             • Exemplos:
               • 1- Interpolar 5 meios aritméticos entre -2 e 40.
                 • Isso significa que vamos ter uma PA onde o primeiro termo é o -2 e o ultimo termo é o 40. PA (-2, __ , __ , __ , __ , __ , 40)
                   • O total de termos é 7, então o n = 7.
                     • O sétimo termo, a_7 é igual ao a_1 mais 6 :
                       • Então vamos substituir o a_7 por 40 e o a_1 por -2:
                         • 40= -2+6r
                         • Agora vamos resolver:
                           • Descobrimos então que a razão é 7.
                             • Agora conseguimos descobrir os outros termos somando o 7.
                               • O segundo termo é: -2 + 7 = 5
                                 • O terceiro termo é: 5 + 7 = 12
                                   • O quarto termo é: 12 + 7 = 19
                                     • O quinto termo é 19 + 7 = 26
                                       • O sexto termo é 26 + 7 = 33
                                         • Então essa PA fica: PA (-2, 5 , 12 , 19 , 26 , 33 , 40)

4. Termo Geral de uma PA

   • Vamos agora encontrar uma expressão que nos permita obter um termo qualquer de uma PA, conhecendo apenas o 1° termo e a razão.
     • Seja
       • uma PA de razão r, temos:
       • O a2 é a oa1 mais uma vez a razão: a2 = a1 + r
         • O a3 é a o a1 mais duas vezes a razão: a3 = a1 + 2r
           • O a4 seria a o a1 mais três vezes a razão: a4 = a1 + 3r
             • Generalizando podemos usar essa formula:
               • • Fórmula:
                 • O a1 e o r sempre aparecem. E é possível perceber que o número que multiplica o 5 é 1 unidade menor que o a.
                   • a_n: termo geral (enésimo termo);
                   • a_(1 ): primeiro termo;
                   • n : número de termos;
                   • r: razão da PA
                   • Exemplos:
                     • Observações:
                       • 1. Note que:
                         • Se nós queremos avançar nos termos, ou seja, "caminhar" para frente em uma progressão aritmética nós somamos as razões.
                           • Se nós queremos retroceder nos termos, ou seja, "caminhar" para trás em uma progressão aritmética nós subtraímos as razões.
                             • Podemos estender a definição do termo geral para:
                               • Exemplos:
                                 • Exemplo: qual é a razão de uma PA na qual o quarto termo é 30 e o décimo segundo termo é 62?
                                   • Calculando:
                       • 2. Numa PA finita, a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual a soma dos extremos.
                         • Equidistantes: de mesma distância.
                           • (3, 6, 9, 12, 15, 18)
                             • A soma dos termos extremos é 21 (3 + 18 = 21)
                             • Somando o 6 e o 15 o resultado também é 21.
                             • Somando o 9 e o 12 o resultado também é 21.
                             • Exemplo:
                               • Isso porque a distância entre o a_(1 )e o a_5 é de 4 termos e a distância entre o a_20 e o a_16 também é 4.
                       • 3. Em uma PA, tomando-se três termos consecutivos, o termo central é a média dos seus vizinhos.
                         • (1, 5, 9, 13, 17, 21, 25)
                           • A razão desse PA é 4.
                             • Vamos pegar três termos consecutivos, por exemplo, 9, 13 e 17. A soma entre o 9 e o 17 é 26 (9 + 17 = 26). A média de 9 e 17 é 13 (26 ÷ 2 = 13).
                               • Vamos pegar agora o 5 e 21 e somar os 2, o resultado é 26 (5 + 21 = 26).
                                 • A soma do 1 e do 25 também é 26.
                                   • O termo central não é apenas a média dos seus vizinhos, mas também dos termos equidistantes dele.
                       • Notações Especiais
                         • Quando procuramos obter uma PA com 3, 4 ou 5 termos é muito prática a seguinte notação:
                           • Para 3 termos:
                             • Vamos chamar o a2 de x.
                               • Se queremos saber quanto é o a_1 subtraímos a raiz com o a2.
                                 • Se queremos saber quanto é o a_3 somamos a raiz com o a_2.
                                   • A notação fica: PA (x-r,x,x+r)
                                     • Antes da notação tínhamos 3 incógnitas e agora com a notação temos apenas 2.
                           • Para 4 termos:
                             • Podemos escrever essa PA assim:
                           • Para 5 termos:
                             • Vamos considerar o a_3 como um valor x.
                               • PA(x-2r,x-r,x,x+r,x+2r)
                                 • Temos uma PA com 5 termos e apenas 2 incógnitas.
                           • Exemplo:
                             • Determine x de modo que (x, 2x + 1, 5x - 6) seja uma PA.
                               • Temos que descobrir qual é o valor de x quando substituído teremos uma PA formada por 3 termos.
                                 • Uma PA de 3 termos pode ser escrita dessa forma:
                                   • A razão dessa PA é: r = a2-a1 e também r = a3-a2
                                     • Podemos dizer que o
                                       • Vamos passas o a_2 para o outro lado e o -a_1 para o outro lado também, vamos ficar com:
                                         • E depois:

5. Soma dos Termos de PA:

   • Somar qualquer termo de uma PA é somar o primeiro termo com o último termo. O resultado dessa adição deve ser multiplicado pela quantidade de termos e depois dividir por 2. Veja a fórmula:
     • Essa é a fórmula da soma dos termos de uma PA finita.
       • Exemplo:
         • 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100
           • 101 . 50 = 5050
             • Exemplos:
               • 1. Calcule a soma dos 50 primeiros termos da PA (2, 6 ...)
                 • Nessa PA o primeiro termo é o 2 e o segundo é o 6, ou seja, o α_1 é 2 e o α_2 é 6. Sabendo isso podemos descobrir a razão: r = 6 -2 → r = 4
                   • Para descobrir a soma dos 50 primeiros termos usamos a fórmula:
                     • Substituindo na fórmula:
                       • O quinquagésimo termo é o primeiro termo acrescido de 49 razões:
                         • Para calcular o α_50 vamos fazer assim:
                           • Sendo assim o α_50 é 198.
                           • Agora para descobrir qual a soma dos 50 primeiros termos substituímos o α_50 por 198:
                             • O 50 vira 25, pois ele tem de ser dividido por 2.
                 • 2. A soma dos dez termos de uma PA é 200. Se o 1° termo dessa PA é 2, qual é a razão da PA?
                   • Sabemos que a fórmula da soma é
                     • Substituindo pelas informações que temos fica:
                       • Agora que sabermos o valor do α_10 podemos descobrir a razão.
                         • Substituindo os termos ficamos com: 38= 2+9r
                           • Resolvendo:

6. Classificação:

   • As progressões aritméticas podem ser classificadas em três categorias:
     • 1. PA crescente: r > 0 (a razão é positiva) Qualquer termo dessa PA é maior do que o seu antecessor;
       • Ex: (1, 3, 5, 7, 9 ...),
     • 2. PA constante ou estacionária: r = 0 (a razão é 0) Quando todos os seus termos são iguais;
       • Ex: (3, 3, 3, 3, 3, ...)
     • 3. PA decrescente: r < 0 (a razão é negativa) Qualquer termo dessa PA é menor do que o seu antecessor.
       • Ex: (0, -2, -4, -6, -8, ...)

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