Progressão Geométrica (PG)

Progressão Geométrica (PG)

1. Introdução:

   • Observe a seguinte sequência:
     • (3, 6, 12, 24, 40, ...)
       • Temos aqui uma sequência numérica.
         • Cada um dos termos está ocupando uma posição. O 3 é o primeiro termo da sequência numérica e vamos chama-lo de a_1; o 6 é segundo termo então ele é o a_2; o 12 é o terceiro termo ou a_3; e assim sucessivamente.
           • A diferença entre dois termos consecutivos nessa sequência não é constante. A diferença ente os dois primeiros termos a diferença é 3, já entre o segundo e o terceiro é 6.
             • Como fazemos para identificar se a sequência é ou não uma progressão geométrica?
               • Seguindo o mesmo exemplo, o termo consequente ou da direita (6) dividido pelo termo antecedente ou da esquerda (3) é exatamente igual ao 12 dividido pelo 6 que é a mesma coisa que o 24 dividido por 12 e assim por diante:
                 • O resultado de 6 dividido por 3 é a mesma coisa que o 12 dividido por 6 e 24 dividido por 12, sendo esse resultado 2.
                   • Esse 2 é a razão dessa progressão geométrica, a razão é representada pela letra q.
                     • Então a divisão entre o termo consequente e o antecedente é a razão.

2. Definição

   • Uma PG é uma sequência em que cada termo, a partir do segundo, é o produto do anterior por uma consequente q dada.
     • Exemplo:
       • PG (2, 6, 18, 54, ...)
         • q =3
       • O dois multiplicado por 3 (razão) é 6, o 6 multiplicado por 3 é 18, o 18 multiplicado por 3 é 54 e assim por diante.
         • Exemplos de progressões geométricas:

3. Interpolação de Meios Geométricos:

   • Interpolar meios geométricos entre dois números dados, significa inserir números de tal forma que a sequência gerada seja uma PG. Vejamos:
     • (1, __ , __ , __ , 81)
       • O 1 é o a_1 e o 81 é o a_5.
         • Se considerarmos uma razão igual a 3, o segundo termo será 3 (1 × 3), o terceiro termo será 9 (3× 3), o quarto termo será 27 (9× 3) e se o 27 for multiplicado pela razão o resultado vai ser 81.
           • Exemplo:
             • Interpolar 5 meios geométricos entre 2/3 e 486.
               • O 486 é o sétimo termo (a7)
                 • O 2/3 é o sétimo termo (a1)
                   • O a7 é igual ao a_1 multiplicado por 6 vezes a razão:
                     • Substituindo fica:
                       • Resolvendo fica:
                         • Tivemos de fatorar o 729.
                           • Agora que temos a raiz podemos descobrir quais são os outros termos, é só multiplicar o 2/3 por 3 e o termo seguinte por 3 e assim por diante.
                             • Então a PG é: PG (2/3,2 ,6 ,18 ,54 ,162 ,486)0----

4. Notações Especiais:

   • Quando procuramos obter uma PG com 3 ou 4 termos é muito prática a seguintes notações:
     • • Para 3 termos:
       • Se o primeiro termo nos dissermos que é x, então o segundo termo será x multiplicado pela razão, e o terceiro termo será o x multiplicado por duas vezes a razão.
         • Mas ainda existe outra possibilidade de representação de uma PG de 3 termos:
           • Agora vamos considerar o x o termo central, ou seja, o 2° termo. Para obtermos o terceiro termo nós multiplicamos o segundo termo, x, pela razão. E para obtermos o primeiro termo nós vamos dividir o segundo termo pela razão.
             • Essa é a maneira mais usada.
               • • Para 4 termos:
                 • Exemplo:
                   • 1- Escreva três números em PG cujo produto seja 27 e a soma dos dois últimos seja 15.
                     • Como no enunciado diz que o produto é 27 vamos multiplicar:
                       • Agora temos um termo e a razão, então é possível representarmos essa progressão geométrica.
                         • 2- Em uma PG de 4 termos, a soma dos dois primeiros é 12 e a soma dos dois últimos é 300. Determine essa PG.
                           • O enunciado diz que a soma dos dois primeiros termos é 12, sendo assim fica:
                             • x + xq = 12
                               • O enunciado diz que a soma dos dois últimos termos é 300, sendo assim fica:
                                 • Na soma: x + xq = 12 o x é um fator comum, então podemos escrever da seguinte forma: x (1 + q) = 12
                                   • Na soma
                                     • o xq ao quadrado é um fator comum, então podemos escrever da seguinte forma:
                                     • Observando essas duas equações é possível perceber que elas possuem o (1 + q) como fator comum. Então vamos isolar o (1 + q) e ficará assim:
                                       • Agora que sabemos que 12/x é o valor de (1 + q) vamos substituir nessa fórmula:
                                         • Devemos considerar as duas razões que foram obtidas (+5 e - 5).
                                           • Primeiro vamos considerar uma PG para uma razão igual a 5:
                                             • q=+5
                                               • Então vamos substituir o q da equação: x (1 + q) = 12 para descobrir o x. É possível fazer essa substituição na outra equação mas o resultado será o mesmo.
                                                 • Essa PG será: PG (2, 10, 50, 250) Isso porque o x é 2, então o 1° termo é 2; depois se multiplicarmos o 2 e o 5 ficaremos com 10, multiplicando 10 com 5 fica 50 e 50 multiplicado com 5 é 550.
                                                   • A soma entre o 1° e o 2° termo é 12 (2 + 10 = 12) e a soma dos dois últimos termos é 300 (50 + 250 = 300). Então essa PG é válida.
                                           • Agora vamos considerar uma PG para uma razão igual a -5:
                                             • q=-5
                                               • Então vamos substituir o q da equação: x (1 + q) = 12 para descobrir o x.
                                                 • Essa PG será: PG (-3, 15, -75, 375)
                                           • A soma entre o 1° e o 2° termo é 12 (-3 + 15 = 12) e a soma dos dois últimos termos é 300 (-75 + 374 = 300). Então essa PG também é válida.

5. Soma dos Termos de uma PG finita:

   • A fórmula que permite calcular a soma dos n primeiros termos de uma PG é dada por:
     • Em que:
       • s elevado a n: é a soma dos n primeiros termos;
       • n: é a quantidade de termos;
       • α_1 é o primeiro termo;
       • q: é a razão.
       • Exemplos:
         • 1- Calcule a soma dos termos da PG definida por
           • com 0 < n ≤ 8.
           • A parte que diz que 0 < n ≤ 8, significa que o n faz parte desse conjunto: n = {1,2,3, ..., 8}. Sendo assim essa PG possui 8 termos.
             • A fórmula
               • representa cada termo dessa PG.
               • Precisamos descobrir o valor do primeiro termo através dessa fórmula substituindo o n por 1 fica:
                 • Sabemos então o valor do primeiro termo (α_).
                   • Mas para poder descobrir a raiz precisamos saber o valor do 2° termo, vamos usar essa mesma fórmula para descobri-lo:
                     • E agora sabemos o valor do 2° termo (α2).
                       • Já podemos descobrir a razão, dividindo o α_2) pelo α_1
                         • A razão é -2.
                         • Então já sabemos todos os valores que precisamos para calcular a soma desses 8 termos.
                           • A fórmula da soma dos termos é

6. Soma dos Termos de uma PG infinita:

   • Considere a PG infinita
     • Note que à medida que o número de termos aumenta indefinidamente, o valor de αn tende a zero (mas não é zero).
       • A fórmula que permite calcular o limite da soma de uma PG infinita de razão 0 < |q| < 1 é:
         • Na PG infinita calcule a soma de seus termos.
           • O número 1 é o a1, ou seja, o primeiro termo dessa PG.
             • Para saber a razão vamos pegar 2 termos consecutivos e dividir o da direita pelo as esquerda:
               • Sendo assim a razão dessa PG é 1/4
               • Agora conseguimos descobrir qual a soma dos termos dessa PG:
                 • A medida que vamos inserindo termos nessa PG a soma desses termos vai tendendo a 4/3 .
                   • Exemplo:
                     • Determine o valor a1 de uma PG infinita em que
                       • A soma dos infinitos termos é 12/5.
                       • Vamos aplicar a fórmula:
                         • Substituindo com os valores que temos vai ficar:

7. Classificação:

   • As progressões geométricas podem ser classificadas em quatro categorias:
     • 1. PG crescente:
       • (quando o primeiro termo for positivo e a razão maior que 1)
         • ou
           • (quando o primeiro termo for negativo e a razão estiver entre 0 e 1)
             • Resumindo: quando cada termo for maior do que seu termo antecedente.
               • Exemplo: (1, 2, 4, 8, 16, ...) q = 2 ou (-54, -18, -6, -2, ...) q = 1/3
     • 2. PG decrescente:
       • (quando o primeiro termo for positivo e a razão entre 0 e 1)
         • ou
           • (quando o primeiro termo for negativo e a razão for maior que 1)
             • Resumindo: quando cada termo for menor do que seu termo antecedente.
               • Exemplo: (-1, -1, -4, - 8, -16 ...) q = 2 ou
     • 3. PG constante:
       • q = 1 (quando a razão é 1)
         • Exemplo: (5, 5, 5, 5, 5, ...) q = 1
     • 4. PG alternadas ou oscilante:
       • q < 0 (quando a razão é negativa)
         • Exemplo: (5, -10, 20, -40, 80, ...) q = -2

8. Termo Geral de uma PG:

   • Vamos agora encontrar uma expressão que nos permita obter um termo qualquer de uma PG, conhecendo apenas o 1° termo e a razão.
     • Seja
       • uma PG de razão q, temos:
         • O segundo termo é igual ao primeiro termo multiplico pela razão.
           • O terceiro termo é igual ao primeiro termo multiplico por a razão duas vezes.
             • O quarto termo é igual ao primeiro termo multiplico por a razão três vezes.
               • Generalizando ficamos com a fórmula:
                 • Os expoentes da razão são 1 unidade menor que os índices dos termos.
                   • Fórmula:
                     • an: termo geral (enésimo termo);
                       • a1: 1° termo;
                         • n: número de termos;
                           • q: razão da PG.
                     • Observações:
                       • 1. Note que:
                         • O a7 é igual a o a_4 vezes a razão 3 vezes. O expoente 3 é a diferença entre o índice 7 e o 4.
                           • O a9 é igual a o a3 vezes a razão 6 vezes. O expoente 6 é a diferença entre o índice 9 e o 3.
                             • Podemos entender a definição do termo geral para:
                               • O expoente da razão é a diferença entre os dois índices.
                                 • Exemplos:
                                   • Determine o 8° termo de PG na qual o a4=12 e q = 2.
                                     • Nós queremos encontrar o a8.
                                       • Então fica:
                                         • Substituindo:
                                           • 2. Numa PG finita, o produto de dois termos equidistantes dos extremos é igual a soma dos extremos.
                                             • PG (2, 4, 8, 16, 32, 64)
                                               • O 2 e o 64 são os extremos dessa PG. O produto deles é 128.
                                                 • Agora o produto do 4 do 32 também é 128.
                                                   • A mesma coisa acontece com o 8 e o 16, o seu produto é 128.
                                                     • 3. Em uma PG, tomando-se três termos consecutivos, o termo central é a média geométrica dos seus vizinhos.
                                                       • PG (1, 3, 9, 27, 81, 243)
                                                         • A média geométrica
                                                           • é: temos por exemplo
                                                             • e nós multiplicarmos todos esses termos e tirarmos uma raiz deles com o índice dessa raiz sendo a quantidade de termos que estão sendo multiplicando, ou seja, uma raiz enésima ficamos com a fórmula:
                                                               • Vamos pegar 3 termos consecutivos dessa PG (3, 9 e 27).
                                                                 • O resultado do 9 dividido pelo 3 é a razão e o 27 dividido pelo 9 também é a razão.
                                                                   • Se multiplicarmos cruzado teremos:
                                                                     • Fazendo a média geométrica disso temos que o termo central, ou seja, o 9 é igual a média geométrica dos seus vizinhos, nesse caso 3 e 27, sendo assim fica:

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