Inversa

Inversa

1. Seja A uma matriz quadrada, sua inversa, caso exista, será A-¹, de mesma ordem, tal que: A-¹ * A = A * A-¹ = I

2. A-¹

3. DETERMINANTES

   • SISTEMAS LINEARES
     • Sistemas Lineares são conjuntos de equações associadas entre elas.
     • Classificação:
       • Sistema Possível e Determinado (SPD)
         • Há apenas uma solução possível, o que acontece quando o determinante é diferente de zero (D ≠ 0).
       • Sistema Possível e Indeterminado (SPI)
         • As soluções possíveis são infinitas, o que acontece quando o determinante é igual a zero (D = 0).
       • Sistema Impossível (SI)
         • Solução vazia, o que acontece quando o determinante principal é igual a zero (D = 0) e um ou mais determinantes secundários são diferentes de zero (D ≠ 0).
     • Sistema 2x2
       • substituição
         • O método da substituição consiste em isolar uma das incógnitas em uma das equações e realizar a substituição na outra equação.
       • adição
         • O método da adição consiste em realizar a multiplicação de todos os termos de uma das equações, de tal modo que, ao somar-se a equação I na equação II, uma de suas incógnitas fique igual a zero.
       • comparação
         • O método da comparação consiste em isolarmos uma incógnita nas duas equações e igualar esses valores.
     • Sistema 3x3
       • Regra de Crammer
         • Se um sistema linear apresenta o número de equações igual ao número de incógnitas e determinante diferente de zero, então as incógnitas são calculadas por:
           • x1 = D1/D x2 = D2/D x3 = D3/D xn = Dn/D
           • 1º passo: Devemos encontrar a matriz incompleta do sistema linear que será chamada de A.
           • 2º passo: Calculamos o seu determinante que será representado por D.
           • 3º passo: Agora devemos substituir os temos independentes na primeira coluna da matriz A, formando assim uma segunda matriz que será representada por Ax.
           • 4º passo: Agora calcularmos o seu determinante representado por Dx
           • 5º passo: Substituímos os termos independentes na segunda coluna da matriz incompleta formando a matriz Ay.
           • 6º passo: Agora calcularmos o seu determinante Dy.
           • 7º passo: Substituindo os termos independentes do sistema na terceira coluna da matriz incompleta formaremos a matriz Az.
           • 8º passo: Agora calculamos o seu determinante representado por Dz.
           • 9º passo: Depois de ter substituído todas as colunas da matriz incompleta pelos termos independentes, iremos colocar em prática a regra de Cramer.
             • x1 = D1/D x2 = D2/D x3 = D3/D xn = Dn/D
         • D diferente de 0 -> SPD
         • D =0 -> SI ou SPI
       • Escalonamento
   • Número real associado a uma matriz quadrada, que será calculado mediante as seguintes regras:
     • Ordem 1: A=[x] -> det(A) = x
     • Ordem 2: det(A) = (produto da diagonal principal)-(produto da diagonal secundária)
     • Ordem 3: det(A) = Regra de Sarrus ou Teorema de Laplace
     • Ordem 4: det(A) = Teorema de Laplace
   • Regra de Sarrus:
     • 1º passo: Repetir ao lado da matriz as duas primeiras colunas.
       • 2º passo: Multiplicar os elementos localizados na direção da diagonal principal, com o sinal de mais na frente de cada termo. Observe que são tomadas as diagonais que apresentam 3 elementos.
         • 3º passo: Multiplica-se os elementos localizados na direção da diagonal secundária, trocando o sinal do produto encontrado.
           • 4º passo: Juntar todos os termos, resolvendo as adições e subtrações. O resultado será igual ao determinante.
   • Teorema de Laplace:
     • 1º passo: Selecionar uma fila (linha ou coluna), dando preferência a fila que contenha a maior quantidade de elementos igual a zero, pois torna os cálculos mais simples.
       • 2º passo: Somar os produtos dos números da fila selecionada pelos seus respectivos cofatores.
         • Cofator
           • Aij = (-1) i + j. Dij
   • Propriedades:
     • 1ª propriedade: Se os elementos de uma linha ou uma coluna são iguais a zero, o valor do seu determinante também será zero.
     • 2ª propriedade: Caso ocorra igualdade de elementos entre duas linhas ou duas colunas, o det = 0.
     • 3ª propriedade: Verificadas em uma matriz duas linhas ou duas colunas com elementos de valores proporcionais, o det = 0.
     • 4ª propriedade: Ao multiplicarmos todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz por um número K, o seu determinante fica multiplicado por K.
     • 5ª propriedade: Caso uma matriz quadrada A seja multiplicada por um número real k, seu determinante passa a ser multiplicado por kn.
     • 6ª propriedade: O valor do determinante de uma matriz R é igual ao determinante da matriz da transposta de R, det R = det (Rt).
     • 7ª propriedade: Ao trocarmos duas linhas ou duas colunas de posição de uma matriz, o valor do seu determinante passa a ser oposto ao determinante da anterior.
     • 8ª propriedade: O determinante de uma matriz triangular é igual à multiplicação dos elementos da diagonal principal.
       • Matriz Triangular
         • Os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são iguais a zero.
     • 9ª propriedade: Considerando duas matrizes quadradas de ordem iguais e AB matriz produto, temos que: det (AB) = (det A) * (det B), conforme teorema de Binet.
     • 10ª propriedade: Ao multiplicarmos todos os elementos de uma linha ou de uma coluna pelo mesmo número e adicionarmos os resultados aos elementos correspondentes de outra linha ou coluna, formamos a matriz B, onde ocorre a seguinte igualdade: det A = det B. Esse teorema é atribuído a Jacobi.
     • Regra de Chió:
       • 1º passo: Verifique se o elemento a11 é igual a 1.
         • 2º passo: Eliminar a primeira linha e a primeira coluna da matriz.
           • 3º passo: Dos elementos que restaram na matriz, subtrair o produto dos dois elementos eliminados (um da linha e o outro da coluna) correspondente a este elemento restante. Por exemplo, no elemento a23, realizar o produto do elemento da segunda linha da coluna que foi suprimida pelo elemento da terceira coluna da linha que foi suprimida.
             • 4º passo: Com os resultados das subtrações realizadas no passo anterior, será obtida uma nova matriz, com ordem menor, entretanto com determinante igual à matriz original.

4. Matriz inversa de ordem 2

   • 1º passo: Dividir os termos pelo determinante.
   • 2º passo: permutar os termos da diagonal principal e inverter o sinal dos termos da diagonal secundária.

5. A * A-¹ = I

6. Matriz Identidade

   • Definida quando os elementos da diagonal principal são todos iguais a 1 e os outros elementos são iguais a 0 (zero). Ela é indicada por In:

7. Propriedades

   • 1ª propriedade: Nem todas as matrizes possuem uma matriz inversa. Ela é invertível somente quando os produtos de matrizes quadradas resultam numa matriz identidade (In)
   • 2ª propriedade: A matriz inversa de uma inversa corresponde à própria matriz: A = (A-1)-1
   • 3ª propriedade: A matriz transposta de uma matriz inversa também é inversa: (At) -1 = (A-1)t
   • 4ª propriedade: A matriz inversa de uma matriz transposta corresponde à transposta da inversa: (A-1 At)-1
   • 5ª propriedade: A matriz inversa de uma matriz identidade é igual à matriz identidade: I-1 = I

8. Matriz inversa de ordem 3

   • 1º passo: encontrar o det(A)
   • 2º passo: Obter a matriz dos cofatores
   • 3º passo: Determinar a matriz transposta
   • 4º passo: Dividir todos os valores pelo determinante