Matrizes

Matrizes

1. Elementos da matriz

   • Qualquer matriz mxn (linhaxcoluna) é composta por elementos aij, em que i representa a linha e j representa a coluna que se encontra o valor.

2. Tipos

   • Linha
     • Ocorre quando a matriz é formada apenas por uma linha e n colunas.  Ex: A 1x4 [ 2  5  6  8 ] 
   • Coluna
     • Quando é formada por uma coluna e m linhas. Ex: A 4x1 [ 2   4   5   8 ] 
   • Unitária
     • É composta por apenas 1 elemento, ou seja, apenas com uma linha e uma coluna, também chamada de matriz quadrada de ordem 1. Ex: A 1x1 = [ 2 ]
   • Quadrada
     • Ocorre quando o número de linhas é igual ao número de colunas, ou seja, m=n, e então é representa por An. Pode ser quadrada de ordem 2 (A2) ou ordem 3 (A3). Ex: A2 = [ 2  2 ]               [ 4   8]
   • Idantidade
     • É uma matriz quadrada que possui todos os elementos da diagonal principal iguais a 1 e os demais iguais a 0. Ex: I3 = [ 1  0  0                0  1  0                0  0  1]
   • Nula
     • É dita nula quando todos seu elementos são iguais a 0 e é representada por Omxn. Ex: O2x2 = [ 0  0                       0  0 ]  
   • Oposta
     • Considerando duas matrizes, uma é oposta da outra quando os elementos correspondentes forem números opostos, ou seja, tendo  A = [aij]mxn e B = [bij]mxn é oposta quando aij = -bij . 
   • Transposta
     • A transposta ocorre quando se inverte linha com coluna, ou seja, o que era linha vira coluna e vice-versa. Ex: A 2x3 → At 3x2
   • Inversa
     • É um tipo de matriz quadrada que quando multiplicada por uma outra o resultado é a matriz identidade de uma mesma ordem. Há única forma de encontrar a inversa é através da multiplicação e resolvendo o sisteminha para encontrar os valores.
     • Propriedades
       • - Existe apenas uma inversa para cada matriz - nem todas possuem inversa - a inversa de uma matriz inversa é a própria matriz - a transposta de uma matriz inversa também é a inversa - a inversa de uma matriz transposta corresponde à transposta da inversa - a inversa da matriz  identidade é igual a matriz identidade - só possui inversa se o determinante for diferente de zero.
   • Triangular
     • Ocorre quando os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são iguais a zero.

3. Operações

   • Soma e subtração
     • É obtida pela soma/subtração dos elementos de matrizes do mesmo tipo. Essa soma/subtração é feita posição a posição.
     • Propriedades
       • - comutativa: A+B = B+A - associativa: (A+B) + C = A + (B+C) - elemento oposto: A + (-A) = 0 - elemento neutro: A + 0 = 0 + A = A
   • Multiplicação
     • Só é possível se o número de colunas de uma for igual ao número de linhas da outra, ou seja, Amxp . Bpxn = Cmxn. Assim, a multiplicação é feita linha por coluna somando-se os termos multiplicados.
     • Propriedades
       • - associativa: A . (B . C) = (A . B) . C - distributiva à direita: A . (B+C) = A . B + A . C - distributiva à esquerda: (B+C) . A = B . A + C . A - elemento neutro: A . I = I . A = A
   • Multiplicação por um número real
     • É dada pela multiplicação de cada elemento pelo número dado. Ex: t . A = [ t . aij ]mxn
     • Propriedades
       • - t . ( s . A ) = ( t . s ) . A - t . ( A+B ) = t . A + t . B - ( t+s ) . A = t . A + s .  A - 1 . A = A 

4. Determinantes

   • O determinante é calculado apenas para matrizes quadradas e possui várias aplicações como: verificar se três pontos estão alinhados no plano cartesiano, para calcular áreas de triângulos, para resolução de sistemas lineares, entre outras. O calculo do determinante consiste em multiplicar os termos da diagonal principal somando e faz-se o mesmo para a secundária só que subtraindo.
   • Propriedades
     • - se os elementos de uma linha ou coluna inteira forem iguais a 0, então o determinante é 0. - se tiver duas linhas ou colunas iguais na matriz, o determinante será 0. - se tiverem duas linhas ou colunas com elementos proporcionais (uma o dobro da outra, por exemplo), o determinante é 0. - se multiplicar uma linha ou coluna por um número t, o determinante também fica multiplicado por t.
     • - se uma matriz for multiplicada por um número real t , o determinante será multiplicado por t^n. - o determinante da matriz é igual ao da transposta. - se trocarmos duas linhas ou duas colunas de posição de uma matriz, o valor do determinante passa a ser oposto ao determinante da anterior.  - o determinante da matriz triangular é igual á multiplicação dos elementos da diagonal principal. - ao multiplicarmos duas matrizes de ordens iguais, o determinante (A . B) = det A . det B → teorema de Binet
   • Regra de Cramer
     • É uma estratégia para resolver sistemas lineares através de determinante. Só pode ser usado quando o número de equações e o incógnitas forem iguais. 

5. Sistemas lineares

   • É um conjunto de equações associadas em que o resultado do sistema é dado pelo resultado de cada equação. Podem ser homogêneos (quando é igualada a 0) ou heterogêneo (≠ 0, igualada a um número qualquer)
   • Classificação
     • Podem ser completos ou incompletos. São completos quando são considerados/existem termos independentes (após o =) para todas as equações.
     • SPI
       • Possível e indeterminado - possui infinitas soluções Det = 0
     • SI
       • Impossível - não apresenta solução
     • SPD
       • Possível e determinado - possui uma solução única Det ≠ 0
   • Relação
     • Todo sistema possui uma representação matricial entre a parte numérica e a literal (incógnitas)

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