Matriz Inversa

Matriz Inversa

1. Objetivo: Se debe aplicar un metodo para hallar el inversa de una matriz cuadrada por medi de la matriz adjunta.

   • *Aprender a averiguar cuándo existe la matriz inversa de una matriz dada. *Aprender a calcular, si existe, la matriz inversa de una matriz. *Conocer las propiedades de la matriz inversa. * Conocer algunas aplicaciones de la matriz inversa. * Introducirse en el uso del Mathcad para trabajar con la matriz inversa

2. Traformacion lineal de una matriz mediante la multiplicacion de la matriz por la matriz adjunta

   • Pasos para calcular matriz de inversa cuadrada con metodo determinantes
     • 1. Se debe calcular el determinandte de la matriz, en caso de que sea nulo la matriz no tendra inversa
       • 2. Matriz adjunta y sus respectivas traspuesta se deben hallar
         • 3. Se debe aplicar el algoritmo

3. Matriz inversa es la transformación lineal de una matriz mediante la multiplicación del inverso del determinante de la matriz por la matriz adjunta traspuesta, Se dice que una matriz cuadrada A es inversible, si existe una matriz B con la propiedad de que A·B = B·A = I siendo I la matriz identidad. Denominamos a la matriz B la inversa de A y la denotamos por A -1 . Una matriz se dice que es inversible o regular si posee inversa. En caso contrario, se dice que es singular..

   • Cálculo de determinantes
     • Método de Gauss: El cálculo de la matriz inversa por el método de Gauss supone transformar una matriz en otra, equivalente por filas. La demostración rigurosa del procedimiento que a continuación se describe se sale del propósito del presente bloque, aquí se limita a su exposición y comprobación de que efectivamente se obtiene la matriz inversa; el método consiste, para una matriz cuadrada de orden n, en:
       • 1. Formar una matriz de orden nx2n tal que las primeras columnas sean las de la matriz A y las otras n las de la matriz identidad de orden n.
       • 2. Mediante las transformaciones elementales de las filas de una matriz, convertir la matriz anterior en otra que tenga en las n primeras columnas la matriz identidad y en las n últimas otra matriz que prescisamente será A .
       • El método consiste, pues, en colocar juntas la matriz a invertir, y la matriz identidad.
     • Con Mathcad: Permite presentar cálculos y diseños integrando matemáticas de actualización instantánea, texto, gráficos e imágenes en un solo documento completo.
     • Por determinantes y adjuntos: muestra una forma, alternativa a la anterior, de determinar cuándo una matriz cuadrada tiene inversa así como a calcularla.
       • La matriz: es inversible si y sólo si su determinante es diferente de cero ( 0A ≠ ) y la forma de calcularla es la siguiente: donde A d es la matriz de adjuntos de A (Ad)T , su traspuesta

4. Propiedades de la matriz inversa

   • 1. Si B y C son, ambas, inversas de la matriz A, entonces B=C. Como consecuencia de este importante resultado, podemos afirmar que la inversa de una matriz, si existe, es única. Toda matriz inversible tiene exactamente una única matriz inversa.
   • 2.. Si A y B son matrices inversibles del mismo tamaño, entonces: a) A·B es inversible b) (A·B) -1 = B -1 ·A
   • Si A es una matriz inversible, entonces: a) A -1 es inversible y (A -1 = A b) A n es inverible y (A n ) -1 ) -1 = (A -1 ) n para n = 0, 1, 2, .... c) Para cualquier escalar k diferente de cero, la matriz k·A es inversible y (k·A)-1=1/k*A-1
   • Si A es una matriz inversible, entonces su matriz de adjuntos correspondientes A también es inversible y (A T ) -1 = (A

5. Aplicaciones

   • Aplicación a la resolución de ecuaciones matriciales: Una ecuación matricial es aquélla en la que sus coeficientes e incógnitas son matrices. Para resolverlas es necesario despejar la incógnita, tal como si de una ecuación con números reales se tratara. El "problema" aparece cuando la incógnita está multiplicada por otra matriz y, como ya es sabido, no es posible "dividir" matrices. En ese caso hay que recurrir a la matriz inversa.
   • Aplicación a la resolución de sistemas de ecuaciones lineales: es necesario plantear un sistema de ecuaciones lineales. Existen diversos métodos para resolverlos (recodemos los conocidos método de igualación, substitución e igualación). Pero, si dichos sistemas están formados por gran cantidad de ecuaciones e incógnitas, el aplicar los métodos anteriores resulta ser una tarea sumamente dificultosa y que, muy probablemente, conducirá a resultados erróneos. Para solventar este problema, los sistemas de ecuaciones lineales se pueden plantear matricialmente y resolverlos haciendo uso de la matriz inversa.

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