LÍMITES Y CONTINUIDAD

LÍMITES Y CONTINUIDAD

1. Determinación de continuidad de una función.

   • 1. Continuidad en un punto (c):
     • La función f(x) es continua en un punto c si se cumple las siguientes condiciones: * f(c) está definida (la función tiene un valor en c). * lim x→c f(x) existe (el límite de f(x) cuando x se aproxima a c existe). * lim x→c f(x) = f(c) (el límite de f(x) cuando x se aproxima a c es igual al valor de la función en c).
     • 2. Continuidad en un Intervalo cerrado ([a,b])
       • La función f(x) es continua en el intervalo cerrado [a,b] si es continua en cada punto del intervalo y si los límites laterales en los extremos del intervalo son iguales a los valores de la función en esos extremos. Formalmente: * f(x) es continua en [a,b] si f(x) es continua en cada punto c en (a,b) y lim x→a+ f(x) = f(a) y lim x→b- f(x) = f(b)
       • 3. Continuidad en un Intervalo abierto ((a,b))
         • La función f(x) es continua en el intervalo abierto (a,b) si es continua en cada punto del intervalo. Formalmente: f(x) es continua en (a,b) si f(x) es continua en cada punto c en (a,b).

2. Limites

   • Teorema 1. Límite de una función constante.
     • Si k es una constante y  a un número cualquiera, entonces: Lím f(x) =  Lím k =  k x->a           x->a
   • Teorema 2. Límite de f(x) = x
     • Para cualquier número dado a: Lim f(x) =  Lim x =  a x->a          x->a
   • Teorema 3. Límite de una función multiplicada por una constante.
     • Sea k una constante y f(x) una función dada. Entonces: Lim k f(x)  =  k Lim f(x) x->a              x->a
   • Teorema 4. Límite de una suma, diferencia, producto y cociente de funciones.
     • Si lim x->c f(x) existe y n es un número entero positivo, entonces: lim x->c [f(x)n] = [lim x->c f(x)]n
   • Teorema 5. Límite de una potencia.
     • Si lim⁡�→��(�)limx→c​f(x) existe y �n es un número entero positivo, entonces: lim⁡�→�[�(�)�]=[lim⁡�→��(�)]�limx→c​[f(x)n]=[limx→c​f(x)]n
   • Teorema 6. Límite de un polinomio.
     • El límite de un polinomio. Sea f(x) una función polinomial, entonces: Lim f(x) = f(a)x->a
   • Teorema 7. Límite de una función racional.
     • Sea f(x)=p(x)/q(x) un cociente de polinomios, entonces: Lim f(x) = p(a)/q(a)x->así q(a) no es cero
   • Teorema 8. Límite de una función que contiene una radical.
     • Si a>0 y n es cualquier entero positivo, o si a<0 y n es un entero positivo impar, entonces: Lim x^(1/n) = a^(1/n) x->a 
   • Teorema 9. Límite de una función compuesta.
     • Si f y g son funciones tales que: Lim g(x) = L   y   Lim f(x) = f(L) x->a                    x->L entonces: Lim f [g(x)] = f(L) x->a

3. REFERENCIAS

   • Balderix, f. d. (s.f.). Límite de una función. (A. Balderix, Ed.) Recuperado el 24 de julio de 2024, de https://www.funciones.xyz/limite-de-una-funcion/ diferencial, C. (s.f.). 1.4.3 Teoremas sobre límites. Recuperado el 24 de julio de 2024, de https://www.uacj.mx/CGTI/CDTE/JPM/Documents/IIT/sterraza/mate2016/LIMITES/lim_teo.html
   • Guanajuato, U. d. (27 de noviembre de 2021). Clase digital 8: Definición de límite y teoremas. (U. d. Guanajuato, Ed.) Recuperado el 24 de julio de 2024, de https://blogs.ugto.mx/rea/clase-digital-8-definicion-de-limite-y-teoremas/
   • Palacio, V. (s.f.). DEFINICIÓN DE Límite DE UNA FUNCIÓN Y TEOREMAS DE LÍMITES. CALCULUS1. Recuperado el 24 de julio de 2024, de https://victorpalacio.wixsite.com/calculus1/blank-z09t4
   • SUPERPROF. (s.f.). Propiedades de los límites. (SUPERPROF, Ed.) Recuperado el 24 de julio de 2024, de https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/calculo/funciones/propiedades-de-los-limites.html
   • UAEH. (s.f.). 1.1. Concepto de Límite y Propiedades. Recuperado el 24 de julio de 2024, de http://cidecame.uaeh.edu.mx/lcc/mapa/PROYECTO/libro8/11_concepto_de_lmite_y_propiedades.html