Campos Vectoriales

Campos Vectoriales

1. Un campo vectorial en Rn es una función F: A ⊂ Rn → Rn que asigna a cada punto x en su dominio A un vector F(x).

   • Imaginemos un fluido moviéndose por una tubería con flujo estacionario. Si en cada punto colocamos la velocidad del fluido en ese punto obtenemos el campo de velocidad V. Nótese que la longitud de las flechas(la rapidez) y la dirección de flujo pueden cambiar de punto a punto.

2. Linea de Flujo

   • Si F es un campo vectorial, una linea de flujo para F es una Trayectoria σ(t) tal que σ′(t)=F(σ(t)). esto es, F produce el campo de Velocidad de la trayectoria σ(t).
     • Usando coordenadas(x,y,z), la ecuación anterior se puede escribir como las ecuaciones simultáneas
       • x'(t)=F₁(x(t),y(t),z(t)) y'(t)=F₂(x(t),y(t),z(t)) z'(t)=F₃(x(t),y(t),z(t))
         • con condiciones iniciales (x(0),y(o),z(0))=(x₀,y₀,z₀), donde F=(F₁,F₂,F₃).
     • Esbozar algunas lineas de flujo del Campo vectorial F(x,y)=(x,-y).

3. Divergencia y rotacional de un campo vectorial

   • Rotacional de un campo vectorial
     • la operacion rotacional esocia a cada campo vectorial c¹F en R3 el ca,po vectorial rot F definido como sigue:
       • F=F₁i + F2j + F3k=(F1, F2, F3)
         • y hagamos rotF=(((∂F₃)/(∂y))-((∂F₂)/(∂z)))i+(((∂F₁)/(∂z))-((∂F₃)/(∂x)))j+(((∂F₂)/(∂x))-((∂F₁)/(∂y)))k
           • ∇f=i((∂f)/(∂x))+j((∂f)/(∂y))+k((∂f)/(∂z))
     • Teorema 1
       • Para cualquier función f de clase c2, tenemos ∇×(∇f)=0 esto es, el rotacional de cualquier gradiente es el vector cero.
   • Divergencia de un campo vectorial
     • divF=∇⋅F=((∂F1)/(∂z))+((∂F2)/(∂y))+((∂F3)/(∂z))
     • Teorema 2
       • Para cualquier campo vectorial F de clase C2, div rot F=∇⋅(∇×F)=0 esto es, la divergencia de cualquier ratacional es cero.

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