Probabilidade

Probabilidade

1. EVENTO

   • ESPAÇO AMOSTRAL
     • Ω, S: TODOS os resultados possíveis.
       • Discreto
         • Finito Ω: {possíveis resultados de sorteio}
         • Infinito numerável Ω: {0, 1, 2, ...}
       • Continuo
         • Infinito Ω: {Energia/Potência ≥ 0 (MWh ou MW)} 6
   • conjunto de resultados possíveis
   • Exemplo: Espaço amostral = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
     • Eventos: A = número par, B = número menor que 3
       • A = {2, 4, 6} B = {1, 2}
   • OPERAÇÕES ENTRE EVENTOS
   • EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS
     • A e B são mutuamente exclusivos --> A n B = Ø
   • PROBABILIDADE DE EVENTOS
     • Espaços amostrais discretos equiprováveis
       • • n: resultados igualmente prováveis. nA: destes resultados pertencem a um certo evento A
     • Espaços amostrais discretos
       • Se A Ω <= = {w1, w2, w3, ... }, então
     • Alocação de probabilidades em função de observações passadas (abordagem frequencista):
   • EVENTOS INDEPENDENTES
     • Dois ou mais eventos são independentes quando a ocorrência de um dos eventos não influencia a probabilidade da ocorrência dos outros. Nesse caso:
       • P(A|B)= P(A)

2. AXIOMAS DA PROBABILIDADE

   • Seja um experimento aleatório com um espaço amostral Ω associado a ele, e seja Ei (i= 1, 2, ...n) um evento genérico.
     • A probabilidade de ocorrência de Ei será um número real tal que:
       • 0 ≤ P(Ei) ≤ 1
         • Se E1, E2, ..., En são eventos mutuamente exclusivos, então P(E1U E2 U ... U En) = Σ P(Ei) 13
           • Propriedades
             • P(Ø) = 0
             • P( Ω ) = 1
             • REGRA DA SOMA
             • Probabilidade Condicional
               • Sejam A e B eventos quaisquer, sendo P(B) > 0. Definimos a probabilidade condicional de A dado B por:
               • Sejam A e B eventos quaisquer, sendo P(A) > 0. Definimos a probabilidade condicional de B dado A por:
             • REGRA DO PRODUTO
               • • OU
       • P(Ω) = 1

3. VARIÁVEL ALEATÓRIA

   • “Uma variável aleatória é uma função com valores numéricos, cujo valor é determinado por fatores de chance.” Associa números aos eventos do espaço amostral.
     • X = número de coroas em 2 lançamentos de uma moeda;
   • Exemplos
     • Vida útil (em horas) de um televisor..; Número de peças com defeito em um lote produzido..; Número de acidentes registrados durante um mês na BR.101..; Na internet, o tempo (em segundos) para que uma determinada mensagem chega ao seu destino...; Se uma mensagem chega (X = 1), ou não (X = 0), ao seu destino
   • Discreta
     • Valor Esperado
     • uma variável aleatória é uma função que associa elementos do espaço amostral ao conjunto de números reais.
       • Variância
       • Função de Probabilidade
         • • Satisfazendo
     • Função de Distribuição acumulada
     • DISTRIBUIÇÃO DE BERNOULLI (parâmetro p (0 < p < 1))
     • DITRIBUIÇÃO BINOMIAL
     • DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICA
     • DiSTRIBUIÇÃO DE POISSON
       • expressa a probabilidade de uma série de eventos ocorrer num certo período de tempo se estes eventos ocorrem independentemente de quando ocorreu o último evento.
   • Continua
     • Uma variável aleatória contínua pode assumir qualquer valor numérico em um determinado intervalo ou série de intervalos. Isto é, uma variável aleatória contínua é uma variável para a qual o conjunto A é um conjunto infinito não enumerável. É uma variável que assume valores dentro de intervalos de números reais.
       • O resultado de lançamento de martelo nas Olimpíadas é um exemplo de variável aleatória contínua. Sabe-se que os valores do lançamento de martelo atingem a distância máxima de 60 metros e a distância mínima classificatória de 30 metros. Todos os lançamentos poderão assumir uma infinidade de possibilidades dentro no intervalo entre 60 metros e 30 metros, pois sempre existirá uma fração para medir a menor diferença possível entre os lançamentos como 59 metros, 25 centímetros, 12 milímetros e assim por diante. Então, {\displaystyle X} X seria uma variável aleatória contínua que assumiria qualquer valor no intervalo 30 <=X<= 60.
       • Exemplos
         • tempo de resposta de um sistema computacional; rendimento de um processo químico; tempo de vida de um componente eletrônico; resistência de um material; etc.
     • As probabilidades de eventos associados a uma variável aleatória contínua X podem ser calculadas através de uma função densidade de probabilidade f, que deve satisfazer:
   • Variavel Aleatória independente
     • X1, X2, ..., Xn podem ser consideradas variáveis aleatórias independentes se o conhecimento de uma não altera as distribuições de probabilidades das demais.
       • Vale para variáveis aleatórias independentes: V(X + Y) = V(X) + V(Y) ; V(X – Y) = V(X) + V(Y)

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