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1. la existencia de los números complejos no fue completamente aceptada hasta que fue mencionada la interpretación geométrica descrita por Wessel (1799) resdescubierta y popularizada por Gauss

   • John Wallis
     • Nacimiento: 23 noviembre 1616 Ashford (Reino Unido) . Fallecimiento: 28 octubre 1703 Oxford (Reino de Inglaterra) . Matemático, historiador de la matemática
       • Profesor en la Universidad de Oxford, fue uno de los fundadores de la Royal Society. Sus trabajos sobre aritmética y álgebra dieron a estas ramas de las matemáticas una independencia respecto de la geometría. Destacan sus obras Arithmetica infinitorum (1655) y De sectionibus conicis (1659)
         • fue un inglés que destacó en el área de las matemáticas al ser el creador del símbolo que en la actualidad se conoce como infinito. Su formación inicial fue como sacerdote, pero fue un hombre que adquirió una gran cantidad de conocimientos en otras ciencias
           • Su trabajo tuvo un impacto en diferentes ramas como en el cálculo, geometría y trigonometría.
   • creación de los números complejos
     • el creador fue un matemático e ingeniero italiano
       • Rafaelle Bombelli
         • teoría
           • Bombelli denotó 2 + √-121 = (2+√-1)3 y 2 – √-121 = (2-√-1)3 . Aplicando las reglas adecuadas de suma y multiplicación, encontró soluciones que hasta entonces no se entendían.
             • Bombelli se refería a los números imaginarios +√-1 y –√-1 como “più di meno” y “meno di meno”. Fue Leonhard Euler el primero que denotó a la raíz cuadrada de (-1) como i, en 1777.
         • biografía
           • Nacimiento: en 1526 Bolonia (Estados Pontificios) Fallecimiento: en 1572 Roma (Estados Pontificios) Matemático e ingeniero
             • Su Álgebra fue uno de los textos matemáticos de referencia en Europa durante más de un siglo. Bombelli escribió un libro de álgebra. Había leído el Ars Magna del médico y matemático Gerolamo Cardano, en la que incluía la fórmula de resolución de la ecuación de tercer grado; la Arithmetica de Diofanto de Alejandría de la que hizo una completa traducción y todo lo escrito sobre el tema.
               • dio con una de sus principales contribuciones a las matemáticas: la creación de los números complejos. Estos aparecen al resolver las ecuaciones de segundo grado cuyas soluciones implican una raíz cuadrada de un número negativo. no hay ningún número real cuyo cuadrado sea negativo, lo que contrariaba tremendamente a los matemáticos de siglo XVI. Las soluciones están en un cuerpo de números desconocidos hasta entonces: los números imaginarios o complejos. Las raíces de números negativos aparecían en los escritos de Cardano, pero consideraba que eran “tan sutiles que eran inútiles”, y no investigó más sobre ellos. Sin embargo, Bombelli desarrolló la aritmética de los números complejos, descubriendo las reglas de su suma y su multiplicación. Para trabajar con ellos desarrolló una sofisticada notación.
   • Caspar Wessel
     • Wessel representó los números complejos como puntos en un plano cartesiano, con la parte real del número en el eje x y la parte imaginaria en el eje y. Sin embargo, Wessel publicó su único ensayo en danés en 1799, por lo que fue ignorado hasta su traducción en 1897.
     • Nacimiento: junio de 1745 Vestby (Noruega) Fallecimiento: 25 de marzo de 1818 (72 años) Copenhague(Dinamarca) Fue un matemático noruego-danés.
   • Jean Robert Argard
     • fue un tenedor de libros y un talentoso matemático autodidacta francés, nacido en Suiza, que describió en 1806, mientras trabajaba una tienda de libros en París, la representación geométrica de los números complejos, publicando la idea de lo que se conoce como plano de Argand.
       • el plano complejo es una forma de visualizar y ordenar el conjunto de los números complejos. Puede entenderse como un plano cartesiano modificado, en el que la parte real está representada en el eje de abscisas y la parte imaginaria en el eje de ordenadas
     • Nacimiento 18 de julio de 1768 Ginebra (República de Ginebra) Fallecimiento 13 de agosto de 1822 (54 años) París (Francia)
   • Carl Friedrich Gauss
     • Se le considera el creador de los números complejos y de la teoría de los números algebraicos
       • Desde 1799 Gauss dominaba la idea de una representación bidimensional de los complejos, de hecho los utilizó en su tesis doctoral aunque no de forma explícita. Y en 1811, tiene completamente acabado no sólo la representación de los complejos como puntos de un plano bidimensional, sino también la idea de integración de funciones complejas, el teorema integral o el desarrollo en serie de potencias de funciones analíticas
         • El término “número complejo” fue introducido por el gran matemático alemán Carl Friedrich Gauss (1777–1855) Su aportación Fue Que existen ecuaciones que carecen de solución en el conjunto de los números reales. Es cuando aparece La unidad imaginaria, "i", que es el número que elevado al cuadrado da -1. Una expresión de la forma a + b i, en la que a y b son dos números reales cualesquiera e i es la unidad imaginaria, se denomina número complejo. Escribiremos z = a + b i , a es la parte real del número complejo z y b es la parte imaginaria de z. La expresión a + bi recibe el nombre de forma binómica del número complejo z.
     • Nacimiento 30 de abril 1777 Brunswick, Principado de Brunswick-Wolfenbüttel Fallecimiento 23 de febrero 1855 (77 años) Gotinga, Reino de Hanóver
   • Anteriormente....Los babilonios, alrededor del año 2000 antes de Cristo, conocían esencialmente el método para resolver ecuaciones cuadráticas, y Herón de Alejandría(100 a. C.) utilizó 63−, aunque algebraicamente, sin preguntarse por su significado, pues por aquellos tiempos no se especulaba acerca de la naturaleza de las raíces imaginarias. Sin embargo, cuando en 1545 Girolamo Cardano escribió:40 = (5 + 15−)⋅(5 −15−) estos números fueron considerados sin sentido y se les aplicó el término de “imaginarios”. Incluso cuando aparecen las ecuaciones cuadráticas, con Diofanto o los árabes, no hay razón para admitir que no tengan solución. Se necesitan cuando Del Ferro,Tartagliay Cardano intentan resolver la ecuación cúbica x3= p ⋅ x + qen cuya fórmula de solución aparecen números complejos (cuando (q/2)2 −(p/3)2 < 0) y sin embargo tiene siempre una solución real. Anteriormente

2. forma binómica

   • z=x+iy (x,y ER)

3. forma polar

   • r(alfa)

4. forma trigonométrica

   • r (coseno α + seno α · i)

5. el número i

   • i2 = −1 ⇔ i = 1

6. operaciones

   • suma de complejos
     • (x + iy) + (u + iv) = (x + u) + i⋅(y + v)(2 + 3 i) + (4 + 5i) = 6 + 8i
   • división de complejos
     • Se multiplica, numerador y denominador por el conjugado del denominador. Así se consigue que el denominador sea un número real 2i)2(1i)i)(1+(1i)2(1=i+12=
     • Se dividen sus módulos y se restan sus argumentos:rα : ρβ = (r/ρ)α-β.z/z=1·(cos 0 + i·sen 0) =
   • producto de complejos
     • Se multiplican sus módulos y se suman sus argumentos: rα⋅ρβ = (r⋅ρ)α+βz·z = 4·(cos 32π + i·sen32π)
     • (x + iy) ⋅(u + iv) = (x⋅u–y⋅v) + i⋅(x⋅v+ y⋅u)(2 –i)·(1 + 2i) = 2 + 4i –i –2i2= 2 + 4i – i + 2 = 4 + 3i

7. Fórmula de Moivre

   • (cosθ+ i·sen θ)n= cos(nθ) + i·sen(nθ)(rα)n= (rn)α⋅n.
     • La fórmula de De Moivre, nombrada así por Abraham de Moivre afirma que para cualquier número complejo (y en particular, para cualquier número real) x y para cualquier entero n se verifica que {\displaystyle (\cos(x)+i\sin(x))^{n}=\cos(nx)+i\sin(nx)}{\displaystyle (\cos(x)+i\sin(x))^{n}=\cos(nx)+i\sin(nx)}. Esta fórmula es importante porque conecta a los números complejos (i significa unidad imaginaria) con la trigonometría
       • Abraham de Moivre (26 de mayo de 1667, Champagne - 27 de noviembre de 1754, Londres) fue un matemático francés, conocido por su fórmula epónima, por sus aportaciones a la teoría de la probabilidad y porque predijo la fecha de su muerte a través de un cálculo estadístico

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