MATRIZES

MATRIZES

1. São

   • Tabelas de elementos dispostos em linhas e colunas
     • Não necessariamente os elementos precisam ser números
       • Exemplos

2. É importante saber

   • A = m x n
     • Onde:
       • A = Representa a matriz e é sempre escrito de letra maiúscula
       • m = representa o número de linhas e é escrito de letra minúscula
         • n = representa o número de colunas e é escrito de letra minúscula
   • A Representação

3. Tipos especiais

   • Matriz Nula
     • Todos os elementos da matriz são nulos
       • Exemplo
         • 0 1x2 = [ 0 0]
   • Matriz Retangular
     • Número de linhas, m, é diferente do número de colunas n
       • Exemplo
   • Matriz Linha
     • Possui uma única linha, m=1. A ordem é 1 x n
       • Exemplo
         • A 1x3 = [-1 3 0]
   • Matriz Coluna
     • Possui uma única coluna, n=1. A ordem é n x 1
       • Exemplo
   • Matriz Quadrada
     • m= n, número de linha = número de colunas
       • Exemplo
     • Conceitos importantes
       • Diagonal Principal:
         • Todos os elementos da matriz tal que i=j
           • a11, a22, a33, a44, ... aij
       • Diagonal secundária:
         • Todos os elementos da matriz em que i + j = n+1
     • Tipos especiais
       • Matriz diagonal
         • Matriz quadrada onde aij = 0, para i diferente de j. Os elementos que não estão na diagonal principal são nulos
       • Matriz identidade
         • Todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1, e os elementos fora da diagonal são nulos
       • Matriz triangular superior
         • Todos os elementos abaixo da diagonal principal são nulos. aij = 0, i> j
       • Matriz Triangular Inferior
         • Todos os elementos acima da diagonal principal são nulos. aij = 0, para i < j
       • Matriz Simétrica
         • Matriz quadrada em que aij=aij
           • Exemplo

4. Operações

   • Soma e subtração
     • Dada duas matrizes A mxn + B mxn, a soma C mxn = A mxn + B mxn é a matriz tal que c ij+ aij +bij
       • A subtração dij = aij = bij
         • Basta somar ou subtrair os elementos correspondentes das matrizes A e b
     • Propriedades
       • Comutativa
         • A + B = B + A
       • Associativa
         • A + ( B + C) = (A + B) + C
       • Elemento Neutro
         • A + 0 = A, onde 0 representa a matriz nula de ordem mxn
   • Multiplicação
     • Por escalar
       • Seja A mxn uma matriz e K uma constante. Definimos a nova matriz C mxn = K . A mxn
         • Onde
           • Os elementos da nova matriz serão da forma cij = K . aij
           • As propriedades são:
             • K ( A +B ) = K . A + K.B
             • (t + s) . A = t . A + s . A
             • 0 . A = 0 ( forma uma matriz nula)
             • s (t . A) = (s . t) . A
     • É necessário que o número de linhas de B seja = ao número de colunas de A
       • Propriedades
         • Associatividade
           • A . (B . C) = (A . B) . C
         • Distribuitiva a direita
           • (A + B) . C = A . C + B . C
         • Distribuitiva a esquerda
           • ( B + C ) = A . B + A . C
   • Transposição
     • Dada uma matriz A m x n, a Transposta de A, B n x m = A ^ T
       • É a matriz cujas linhas são as colunas de A, ou seja, bij = aij
         • Propriedades
           • Uma matriz é simétrica se, e somente se, ela é igual à sua transposta, isto é, A = A^T
           • (A^T)^T = A
           • (A+B)^T = A^T + B^T
           • (K . A) ^T. onde K é uma constante qualquer

5. DETERMINANTES

   • Conceito Inicial
     • É a diferença do produto dos elementos da diagonal principal pelo produto dos elementos da diagonal secundária
       • Só está definido para matrizes quadradas
   • Resolução a partir de:
     • Sarri
       • Det (A) = a11.a22.a33+a12.a23.a31+a13.a21.a23 - a11.a23.a32 - a12 . a21 .a33
     • La Place
       • O Determinantes de uma matriz de ordem 3x3 pode ser expresso em função dos determinantes de submatrizes 2x2
       • O Determinante de uma matriz quadrada A de ordem n é igual a soma dos produtos dos elementos de uma linha pelos seus respectivos cofatores
   • Conceitos importantes
     • Cofator
       • é o número tal que sendo o determinante da matriz obtida a partir da da matriz original eliminando-se a linha e a coluna que contenham o elemento
   • Propriedades
     • O determinantes de uma matriz não se altera quando se troca as linhas pelas colunas
     • Se todos os elementos de uma linha (coluna) de uma matriz A são nulos, então Det (A) = 0
     • Se uma matriz A possui linhas ou colunas iguais então Det (A) = 0
     • Se uma matriz A duas linhas ou colunas tem seus elementos proporcionais então Det (A) = 0
     • O determinante de uma matriz diagonal A é igual ao produto dos elementos da diagonal principal
     • Trocando a posição de duas linhas, o determinante troca de sinal
     • Se multiplicarmos uma linha da matriz por uma constante, o determinante fica multiplicado por essa constante
     • Dadas duas matrizes A e B quadradas de mesma ordem n, tem-se que Det (A . B) . Det (B)
     • O determinante de uma matriz A e de sua transposta são iguais

6. Matriz Inversa

   • Uma Matriz A de ordem n é dita inversível se existe uma matriz de ordem n tal que: A .B = B . A = In
   • Matriz singular
     • Determinante nulo
   • Matriz não singular
     • O determinante não é nulo
   • Métodos de inversão
     • Método da matriz adjunta
     • Operações Elementares
     • Escalonamento

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