Vectores, Matrices y Determinantes UNAD

Vectores, Matrices y Determinantes UNAD

1. Definicion de Matriz:

   • Es una tabla numerica formada por una "m" filas y "n" columnas, donde la matriz A hace referencia a cada elemento como aij donde i corresponde a la fila del elemente y j a la columna.
   • TIPOS DE MATRICES
     • MATRIZ FILA
       • MATRIZ COLUMNA
         • MATRIZ TRIANGULAR
           • MATRIZ CUADRADA
             • MATRIZ NULA

2. MATRIZ TRASPUESTA

   • Se calcula cambiando filas por columnas.
   • MATRIZ SIMETRICA
     • Se debe a que la matriz A:A es igual
     • MATRIZ ANTISIMETRICA
       • En este caso A = - A

3. PROPIEDADES DE LA SUMA Y LA RESTA DE MATRICES

   • ASOCIATIVA A + (B+C) = (A+B)+C
   • ELEMENTO NEUTRO / A + 0 =A
   • O es la matriz nula de la misma dimension que la matriz A.
   • Elemento Opuesto A + (-A) = O
   • CONMUTATIVO A+B = B+A

4. MULTIPLICACION DE MATRICES

   • Se multipica cada elemento de la fila I de la matriz A por cada elemento de la columna J de la matriz B y sumandolos ( Cij)

5. DETERMINANTE DE UNA MATRIZ

   • Se le llama a un numero que se obtiene de varias formas dependiendo de las dimensiones de la matriz.
     • Determinante NXN
       • Es expresado como la suma de las entradas de cualquier fila o cualquier columna multipicada por sus respectivos cofactores.
     • PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
       • PROPIEDAD 1: El determinante del producto de matrices es el producto de sus determinantes
         • PROPIEDAD 2: El determinante de una matriz con alguna fila o columna de ceros es 0
           • PROPIEDAD 3: Se puede extraer el factor comun de una fila o columna multiplicando el determinante por el factor
             • PROPIEDAD 5: Si se cambia el orden de una fila o de una columna, el determinant cambia de signo.
               • PROPIEDAD 6: Si se cambia el orden de n filas o columnas, el determinante cambia de signos si n es impar.
                 • PROPIEDAD 7: Si una matriz es invertible, el determinante de la inversa es el inverso del determinante
                   • PROPIEDAD 8: El determinante de una matriz es igual al de su traspuesta.
                     • PROPIEDAD 9: Si una matriz tiene filas o columnas linalmente dependientes, entoces su determinante es 0
                       • PROPIEDAD 10: El determinante no cambia si se suman filas (o columnas) multiplicadas por numeros distintos de o.
                         • PROPIEDAD 11: El determinante de una matriz diagonal es el prodcuto de los elementos de su diagonal.
                           • PROPIEDAD 12: El determinante de una matriz triangula es el producto de los elementos de su diagonal

6. DEFINICION ALGEBRAICA DE UN VECTOR

   • Es un conjunto de elementos ordenados en renglon o columna.
   • El segmento de recta dirigido de P a Q se le conoce como vector.
   • TIPOS DE VECTORES
     • VECTOR REGULAR: consta de un solo renglon y n columnas
       • VECTOR COLUMNA: consta de n renglones y una sola columna.
         • VECTOR TRANSPUESTO: proporciona una alternativa para la multiplicacion de vectores
           • VECTOR UNITARIO: es aquel cuya magnitud es igual a 1.
   • VECTORES
   • PROPIEDADES DE LOS VECTORES
     • PROPIEDAD CONMUTATIVA
       • Es la pro propiedad donde el orden de los sumandos no altera la suma
         • A+B = B+A
       • PROPIEDAD ASOCIATIVA
         • Es la prpiedad donde la forma es agrupar los vectoes no altera la restante
           • (A+B)+C = A+ (B+C)
         • PROPIEDAD DISTRIBUTIVA
           • Es la propiedad que relaciona la multiplicacion y la suma
             • K(A+B) = KA+KB
           • PROPIEDAD INVESO ADITIVO
             • Es la propiedad donde la suma de un vector y su vector es opuesto es cero
               • A+(-A) = 0

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