Mapa mental

Conjuntos númericos

Eduardo Augusto Muñoz López Español

Mapa mental sobre Conjuntos numéricos: números reales, letra R y vida cotidiana

Mapa mental: Conjuntos numéricos

Contenido del mapa

Conjuntos númericos

Números reales
- Son los utilizados en la vida cotidiana
- Se representan con la letra R
- están formados por los conjuntos
  - Racionales
    - Enteros
      - Naturales
        Se representan con la letra N
        Sirven para contar
        una vaca, dos vacas, cincuenta vacas
        El cero también hace parte de este conjunto, cero vacas
        son infinitos, N= {0,1,2,3,...}
        Los números del 0 al 9 reciben el nombre de dígitos
        Se pueden realizar operaciones como:
        Suma o adición
        Es una operación mediante la cual se reúnen en un solo conjunto los elementos que integran los conjuntos dados
        Los números que se suman se llaman sumandos
        Los números que se suman se llaman sumandos y se escriben separados por el signo +, que se lee "más", el resultado recibe el el nombre de suma 5+4=10 los números 5 y 4 son los sumandos y el resultado o suma es 10
        Leyes formales de la suma
        Ley conmutativa, el orden de los sumandos no altera la suma a+b=b+a
        2 + 3 + 5 = 10 5 + 2 + 3 = 10 3 + 5 + 2 = 10
        Ley Uniforme: si varios números son iguales a otros varios, la suma de los primeros es igual a la suma de los segundos
        3 sillas + 4 sillas = 7 sillas. 3 mesas + 4 mesas = 7 mesas la suma de 3 y 4 cualquiera que sea la naturaleza de los conjuntos que ellos representan, siempre es 7
        Ley modulativa o Elemento neutro: el cero 0 es el único número que sumado con otro no lo altera. El 0 es el módulo de la suma n+ 0 = n
        9 + 0 = 9
        Ley asociativa, la forma de agrupar los sumandos no varía el resultado (a+b)+c=a+(b+c)
        (6 + 2) + 4 = 12 6 + (2 + 4) = 12
        Ley Clausurativa: la suma de dos números N da como resultado otro N
        7 + 6 = 13
        Resta
        Es una operación inversa de la suma, tiene por objeto sustraer, quitar elementos o cantidades y calcular su diferencia
        Los elementos de la resta son: el minuendo, el sustraendo y la diferencia
        Para indicar que dos números se han de restar, se separan por el signo -, que se lee "menos". Así, la diferencia de 14 menos 9, se indica 14 - 9 = 5, donde 14 es el minuendo, 9 es el sustraendo y 5 la diferencia
        Leyes formales de la sustracción
        Ley Modulativa: la diferencia de cualquier número N menos cero es igual al mismo número N. a - 0 = a
        9 - 0 = 9
        Ley uniforme: la diferencia de dos números tiene un valor único o siempre es igual
        la diferencia 7-2 tiene un valor único 7-2=5 porque 5 es el único número que sumado con 2 da 7
        multiplicación
        Es un caso particular de la suma en que todos los sumandos son iguales
        El sumando que se repite se llama Multiplicando y el número de veces que se repite se llama multiplicador. ambos se llaman factores el resultado es el producto
        se acostumbra a escribir primero el multiplicando y a continuación el multiplicador separados por el signo x que se lee "por". 4 x 3 = 4x4x4 =12 250+250+250+250=250x4=1000
        Leyes formales
        Ley clausurativa: el producto de dos números N, es siempre otro número N
        6 x 3 = 18
        Ley Modulativa: el producto de cualquier número N por 1 es igual al mismo número N, ax1=a
        4 x 1 = 4
        Ley conmutativa: el orden de los factores no altera el producto axb=bxa
        2x8=8x2 2x8=16 8x2=16
        Ley asociativa: el modo de agrupar los factores no varía el resultado (axb)xc=a(bcc)
        (4x5)x2=4(5x2) (4x5)x2=40 4x(5x2)=40
        Ley distributiva
        respecto a la suma
        La multiplicación de un número N por una suma es igual a la suma de las multiplicaciones de dicho número (a+b)xc=axc + bcc
        (3+6)x5 = 3x5 + 6x5 =15 +30 =45
        respecto a la resta
        La multiplicación de un número N por una resta es igual a la resta de las multiplicaciones de dicho número (a-b)xc=axc - bcc
        (6-2)x4 = 6x4 - 2x4 =24 - 8 =16
        el mínimo común múltiplo MCM de dos o más números es el menor de los múltiplos comunes de esos números
        calcula el mcm de 2 y 6 los múltiplos de 2 son 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 18, ,... los múltiplos de 6 son 0, 6, 12, 18, 24, ... los múltiplos comunes son 6,12,18 el menor de ellos es 6, entonces el mcm de 2 y 6 es 6
        División
        Es la operación que tiene por objeto dado un producto de dos factores, llamado dividendo y uno de los factores llamado divisor, hallar el otro, llamado cociente.
        el cociente se indica escribiendo el dividendo y a continuación el divisor, separados por el signo (÷), que se lee "dividido por" a÷b=c
        Leyes de la división
        Ley distributiva respecto a la suma
        Para dividir una suma indicada por un número, se divide cada sumando por el número y se suman los cocientes (a+b)÷c=a÷c + b÷c
        (3+5)÷3 =3÷3 + 5÷3 = 1+1,6 = 2,666
        Ley distributiva respecto a la diferencia
        Para dividir una diferencia indicada por un número, se divide el minuendo y el sustraendo por el número y se restan los cocientes (a-b)÷c=a÷c - b÷c
        (6-2)÷2 =6÷2 - 2÷2=3-1=2
        existen dos tipos de división
        Exacta
        Cuando existe un número entero que multiplicado por el divisor, da el dividendo, es decir cuando el dividendo es múltiplo del divisor, el residuo es cero
        10÷2=5 al multiplicar 5 x 2 = 10, residuo cero
        Un numero es primo si sus únicos divisores son el 1 y él mismo
        7 divisores 1 y 7
        un número es compuesto si tiene más dos o más divisores distintos de 1 y de sí mismo
        10 los divisores son 1, 2, 5 y 10
        todo número compuesto se puede descomponer en un producto de potencias de numeros primos
        150|2 75|3 25|5 5|5 1
        por lo tanto 150=2x3x5^2
        Inexacta
        Cuando no existe ningún número entero que multiplicado por el divisor, dé el dividendo, cuando el dividendo no esú mltiplo del divisor, el residuo es diferente de cero
        10÷3=3,33 no existe un número que al multiplicarlo por 3 me de 10, el residuo es 1
        Criterios de divisibilidad
        Un número es divisible entre otro si el residuo es cero
        Todo número par que termine 0, 2,4,6 u 8 es divisible entre dos
        124÷2=62
        Un número es divisible entre 3 si la suma de sus dígitos es igual a 3 o a un múltiplo de 3
        72 al sumar los dígitos 7+2=9 y 9 es múltiplo de 3, 72÷3=24
        Un número es divisible entre 4 cuando sus últimos dos dígitos son 0 o un múltiplo de 4
        140 termina en 40 que es múltiplo de 4 140÷4=35
        Un número es divisible entre 5 cuando su último dígito es un 5 o un 0
        180÷5=36
        Máximo común divisor MCD
        Es el mayor divisor común de dos o más números
        halla el mcd de 18 y 36 los divisores de 18 son 1, 2, 3, 6, 9, 18 y los divisores de 36 son 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36, los divisores comunes entre 18 y 36 son 1, 2, 3, 9 y 18 el número y de ellos el mayor es 18 entonces el mcd (18,36)=18
        potenciación
        Se llama potencia a un producto de factores iguales. el factor que se repite se llama base, el número de veces que se repite se llama exponente, la operación de hallar la potencia se llama potenciación
        la potenecia de base a y exponente n se indica así: a^n
        todo número elevado a la cero es igual a 1
        a^0=1
        Leyes de la potenciación
        Ley modulativa: Todo número elevado a la 1 es igual al mismo número
        a^1=a
        Ley clausurativa: el resultado de elevar un número natural a una potencia es otro número natural
        3^4=3x3x3x3=81
        Existen relaciones de
        Igualdad
        Números iguales son los que representan conjuntos coordinares
        Si en un aula de clase cada estudiante ocupa una silla de modo que no queda ninguna silla vacía y ningún estudiante está de pie, ambos conjuntos están coordinados. Si a representa el conjunto de estudiantes y b el conjunto de sillas, los números a y b son iguales (o son el mismo número), lo cual se puede expresar por la notación a=b y se lee a igual a b; dónde a es el primer miembro y b el segundo miembro
        Desigualdad
        Números desiguales son los que representan conjuntos no coordinares
        Si en un aula de clase no es posible que cada estudiante ocupe una silla y cada silla esté ocupada por una sola persona, ambos conjuntos no son coordinables y ello obedecerá a que hay más estudiantes que sillas o más sillas que estudiantes los conjuntos entonces son desiguales
        Al escribir una desigualdad hay que poner el número menor junto al vértice del signo < y el número mayor junto a la abertura
        Si a representa el conjunto de estudiantes y b el conjunto de sillas
        Si hay más estudiantes que sillas se expresa con la siguiente notación a > b, y se lee a mayor que b, o se puede escribir de la siguiente manera b < a, y se lee b menor que a
        Si hay más sillas que estudiantes se expresa con la siguiente notación a < b, se lee, a menor que b, o también se puede escribir de la siguiente manera b > a, y se lee, b mayor que a
        Dados dos números a y b necesariamente tiene que verificarse una y solo una de las siguientes posibilidades
        a = b
        5=5
        a > b
        5 > 3
        a < b
        5 < 8
      - Son una ampliación del conjunto N, donde se incluyen sus opuestos, en este caso se conocen como enteros negativos y el cero. El conjunto de los enteros se representan con la letra Z
        los números entérenos negativos se escriben anteponiendo el signo menos a cada número natural
        -5 menos cinc, -2 menos dos, -30 menos treinta
        constituyen una forma de representar situaciones como deudas, temperaturas bajo cero, años antes de Cristo, entre otras
        z={-∞,...-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,...∞}
        números opuestos
        son los que están a la misma distancia de cero sobre la recta numérica y tienen diferente signo
        el opuesto de 5 es -5 el opuesto de -10 es 10
        Valor absoluto
        el valor absoluto de un número entero, es el número de unidades que separa a dicho número de cero, es decir, es la distancia del número a cero. Dado que la distancia siempre es un número positivo, se deduce que el valor absoluto de un número entero es positivo
        la expresión |a|, se usa para notar el valor absoluto del numero a, y se lee valor absoluto de a
        |-4|=4 |4|=4 |-10|=10
        orden en los Z
        Dados los números enteros a y b, entre ellos se satisface solo una de las siguientes relaciones
        a<b
        si a en la recta numérica se encuentra a la izquierda de b
        -4<1 6<10 -8<-1
        a=b
        si en la recta numérica a y b representan el mismo punto
        -10=-10 3=3 -6=-6
        a>b
        si en la recta numérica a se encuentra a la derecha de b
        5>1 -2>-10. 1>-5
        operaciones
        suma
        pueden presentarse dos casos
        suma de dos números de igual signo
        se suman los valores absolutos y a la respuesta se le antepone el signo común
        5 + 9 = 14 (-5)+(-9)=|-5|+|-9|=-14
        suma de dos números de diferente signo
        se restan los valores y a la respuesta se le antepone el signo del número que tiene mayor valor absoluto
        9+(-12) =|9|+|-12|= -3 -8 + 10 = |-8| +10 = 2
        propiedades
        Clausurativa
        la adición de dos números Z siempre da como resultado otro número Z
        -5 + 6 = 1
        Asociativa
        Al agrupar los sumandos de diferente manera, siempre se obtiene el mismo resultado
        (-8)+6+(-2) = [(-8)+6]-2 = (-8)+[6-2] = -4
        Conmutativa
        El orden en no altera el resultado
        (-23) + 12 = -11 12 + (-23) = -11
        elemento neutro
        Todo número adicionado con 0, da como resultado el mismo número
        -15 + 0 = -15 8 + 0 = 8
        el 0 recibe el nombre de elemento neutro o módulo
        Inverso aditivo u opuesto
        Todo número entero sumado con su opuesto da como resultado 0
        -9 + 9 = 0 10+(-10)= 0
        resta
        se puede resolver como si se tratara de una suma, sin embargo el signo menos de la resta cambia el signo del número que le sigue
        a un número positivo restarle otro positivo
        3 - (+8) =3-8= -5
        a un número positivo restarle uno negativo
        6-(-4) =6+4= 10
        a un número negativo restarle uno positivo
        -4-(5) = -4-5=-9
        a un número negativo restarle otro negativo
        -2-(-5)=-2+5=3
        Regla para suprimir signos
        +(+)=+ +(-)=- -(+)=- -(-)=+
        propiedades
        Clausurativa
        la resta de dos números Z da como resultado otro número Z
        múltiplicación
        a.b=c donde a y b son factores y c el producto
        para multiplicar números enteros
        se multiplican los números sin tener en cuenta el signo
        -6.8 = 48
        se determina el signo del producto, utilizando la ley de los signos
        ley de los signos
        (+)(+)=+ (+)(-)=- (-)(+)=- (-)(-)=+
        -6.8= -48
        propiedades
        Clausurativa
        el producto de dos números Z da como resultado otro Z
        (-9)(-3)=27
        Asociativa
        tres o más Z se pueden agrupar de diferente manera y el resultado no varía
        [(-8)5].(-3) = 120 (-8).[5(-3)]= 120
        Conmutativa
        el orden delos factores no altera el producto
        (-7).5=45 5(-7)=45
        Elemento neutro
        todo Z multiplicado por 1 da el mismo Z
        (-7).1= -7 (10)(1)=10
        Elemento nulo
        todo Z multiplicado por 0 da 0
        (-23).0=0. 7.0=0
        Distributiva
        relaciona la adición o sustracción y la multiplicación
        (-2)x[(-6)+4] =(-2)(-6)-(-2)(4)=12-(-6)=18
        (-5)x[(-3)+2] =(-5)(-3)+(-5)(2)=15+(-10)=5
        División
        para indicar la división entre a y b se utiliza la notación a÷b=c, donde a se llama dividendo, b divisor, b≠0
        La división de dos Z de igual signo es positiva
        -9÷-3=3 27÷3=9
        la división de dos Z de diferente signo es negativa
        -25÷5=-5 15÷-3=-5
        el cociente de cualquier número entre 1 es el mismo número
        -28÷1=-28 8÷1=8
        el cociente de cero entre cualquier número Z diferente de cero es cero
        0÷(-8)=0 0÷4=0
        potenciación
        propiedades
        producto de potencias de igual base
        a^n x a^m = a^(n+m)
        8^2 x 8^5 = 8^(2+5) = 8^7
        cociente de potencias de igual base
        a^n ÷ a^m = a^(n-m)
        12^4 ÷ 12^2 = 12^(4-2) = 12^2
        potencia de una potencia
        (a^n)^m=a^(n.m)
        (4^2)^3 = 4^(2.3) = 4^6
        potencia de un producto
        (a.b)^n = a^n . b^n
        (5x3)^2=5^2x3^2
        potencia de un cociente
        (a÷b)^n = a^n ÷ b^n
        (6÷2)^3=6^3÷2^3
        todo número Z elevado al exponente uno da como resultado el mismo número
        -7^1=-7. 3^1=3
        todo número Z diferente de 0, con exponente 0 da como resultado 1
        -3^0=1 9^0=1
        una potencia cuya base es 1 y el exponente cualquier número N da como resultado 1
        1^3=1
        signos
        para determinar el signo de la potencia de un Z, se tiene encuenta:
        La potencia es positiva si la base es negativa y el exponente es par
        (-3)^2=9
        la potencia es positiva si la base es positiva y el exponente es par o impar
        5^2 =25 2^3=8
        la potencia es negativa si la base es negativa y el exponente es impar
        (-5)^3=-125
    - un número racional es el cociente de dos números enteros a/b donde b≠0, donde a es el numerador y b el denominador, se representan con la letra Q
      - Simplificación, es transformar una fracción a otra fracción equivalente más simple
        se divide el numerador y el denominador por un mismo número, se empieza probando por los primeros números primos 2, 3, 5, 7,... es decir empezamos dividiendo entre 2 tanto el numerador como el denominador, cuando la división no sea exacta en alguno de ellos se prueba dividir por 3 y así sucesivamente hasta que no haya más divisores comunes, es decir llegamos a una fracción irreducible, es cuando el numerador y el denominador son primos entre sí.
        24/16 = 12/8 = 6/4 = 3/2
      - fracción equivalente
        dos fracciones son equivalentes si el producto de los extremos es igual al producto de los medios
        1/6 y 2/12 =1x12 = 6x2 = 12 = 12
      - al dividir a/b puede ocurrir
        la división sea exacta
        36/4 = 9
        que de como resultado un número decimal exacto
        45/2=22,5
        que de como resultado un número decimal con infinitas cifras decimales que se repiten cada cierto intervalo
        1/6 = 0,16666666
      - operaciones en Q
        suma
        con el mismo denominador
        a/b + c/b = (a + c) / b
        4/3 + 7/3 = (4+7)/3 = 11/3
        con diferente denominador
        a/b + c/d = ((a x d) + (b x c))/(b x d)
        3/4 + 6/9 = ((3 x 9) + (4 x 6))/(4 x 9) = (27+24)/36 = 51/36 =17/12
        resta
        a/b - c/d = ((a x d) - (b x c))/(b x d)
        3/4 - 6/9 = ((3 x 9) - (4 x 6))/(4 x 9) = (27-24)/36 = 3/36 = 1/12
        multiplicación
        a/b x c/d = (a x c) / (b x d)
        4/7 x 5/2 = (4 x 5) / (7 x 2) = 20/14 = 10/7
        división
        (a/b)/(c/d) = (a x d) / (b x c)
        (3/2)/(4/3) = (3 x 3) / (2 x 4) = 9/8
        potenciación
        (a/b)^n = a^n / b^n
        (3/5)^2 = 3^2 / 5^2 = 9/25
        fracciones con exponente negativo
        (a/b)^-n = b^n / a^n
        (2/5)^-3 = 5^3 / 2^3 = 125/8
        propiedades
        producto potencias con la misma base
        (a/b)^n x (a/b)^m = (a/b)^(n+m)
        (3/5)^2 x (3/5)^4 = (3/5)^(2+4) = (3/5)^6
        Fracción con exponente 0
        (a/b)^0 = 1
        (9/7)^0 = 1
        Fracción con exponente 1
        (a/b)^1 = a/b
        (3/8)^1 = 3/8
        División de potencias con la mima base
        (a/b)^n / (a/b)^m = (a/b)^(n-m)
        (6/7)^4 / (6/7)^2 = (6/7)^(4-2) = (6/7)^2
        potencia de una potencia
        [(a/b)^n]^m = (a/b)^(n x m)
        [(4/3)^3]^2=(4/3)^(3x2) = (4/3)^6
        Producto de potencias con el mismo exponente
        (a/b)^n x (c/d)^n = ((a x c)/(b x d))^n
        (6/7)^2 x (5/4)^2 = ((6 x 5)/(7 x 4))^2 = (30/28)^2
        cociente de potencias con el mismo exponente
        (a/b)^n / (c/d)^n = ((a x d)/(b x c))^n
        (2/3)^3 / (3/4)^3 = ((2 x 4)/(3 x 3))^3 = (8/9)^3
  - Irracionales
    - Son números reales que poseen infinitas cifras decimales no periódicas, por lo que nos pueden expresar en forma de fracción. Se representan con la letra I
      - como el número π = 3,141592653589.... que se define como la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro
      - el número de Euler 2,718281828459... que es la base de los logaritmos naturales
      - enumero áureo = 1,618033988749... utilizado por artistas en las proporciones de sus obras.
      - algunas raíces son números irracionales √5, √3, √2 entre otros

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Descripción: Mapa Mental sobre Conjuntos númericos, creado por Eduardo Augusto Muñoz López el 10/03/2022.
Creado por: Eduardo Augusto Muñoz López
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