Modelos continuos de crecimiento: Del modelo exponencial al modelo logístico.

Modelos continuos de crecimiento: Del modelo exponencial al modelo logístico.

1. Modelo de Malthus

   • Está basado en una EDO:
     • Ampliamente utilizada en las matemáticas universitarias y economía.
     • Como su EDO es de primer orden lineal homogénea (con coeficientes constantes), su formulación es dada por medio de un problema de valor inicial PVI.
       • La EDO indica que la variación instantánea de la población en el instante t , dada por p'(t) , es directamente proporcional (siendo α la constante proporcionalidad) a la población p(t) que hay en ese momento.
         • La idea básica de esta propuesta de modelización es que, cuanto mayor es el número de individuos, i.e., mayor es p(t) , mayor es la variación (dada por p'(t) ) que puede sufrir la población.
           • Esta afirmación requiere de diversos factores;
             • Como primera instancia, la variación poblacional puede ser creciente o decreciente, esto dependerá de la diferencia entre el número de individuos que nacen y mueren.
               • Si aislamos α, se entenderá el rol que desempeña en el modelo, así como la denominación anterior de constante de crecimiento relativo.
                 • Observe que α = p'(t) / p(t). Como el denominador de la fracción siempre es positivo (por representar una población), el signo de α está determinado por el signo de p'(t):
                 • Al considerarse un instante arbitrario "t" y un intervalo de longitud Δt; se determina como [t,t+Δt], al denotarse por "p" queda p(t+Δt), y Δp(t)=p(t+Δt)-p(t).
                   • La función se aplica como si fueran masas, esto considerando las variaciones como la emigración y inmigración.
                     • También es aplicable para las tasas de nacimiento, ya que tienen lugar en el intervalo [t,t+Δt]. Esta relación contiene el signo "α", pudiendo ser positivo.
                       • Cálculo del modelo para la solución p(t):
                         • Se distinguen varios casos, todo en función de "α" :
                           • Si α > 0; esto será p(t) > 0, lo que nos representa que p(t) es la población teniendo un crecimiento rápido o convexo.
                           • Si α < 0, esto se vería como p(t) < 0, lo que nos indica que lógicamente es decreciente; y que cuando la tasa es ">" aumenta y "<" disminuye.
                             • Para calcular la solución de p(t), y estudiar a partir de esta; será necesario tomar una serie de coeficientes dados por la primera ecuación; lo que permite hallar la ecuación:
                               • Esto ayuda a obtener la dinámica del tipo de interés:
                                 • Al completar la ecuación, se hace visible; además, además de que corrobora las conclusiones que se hayan recolectado anteriormente.
                                   • Al deducir la cuarta ecuación, se muestra que;
                                     • Cuando "α ≠ 0"; la población crecerá de manera exponencial; por lo tanto, si α < 0, en un gran largo plazo, se ocasionará una extinción total.
                                       • En la figura 2, se expresa gráficamente el comportamiento de la solución para valores específicos
                                     • Si "α = 0"; se notará en la ecuación como si la población entrara a un estado de equilibrio, siendo el valor de p(t) inicial.
                                       • En la figura 2, se expresa gráficamente el comportamiento de la solución para valores específicos de los parámetros:
                                         • Aplicación del modelo: Calibración de parámetros.
                                           • En este apartado se aplicará el modelo de crecimiento exponencial para modelizar el Índice de Precios al Consumo (IPC) durante un cierto período.
                                             • Los datos han sido extraídos del Instituto Nacional de Estadística (INE) y corresponden al período febrero de 2010 hasta enero de 2011 con base 2011.
                                             • Se busca determinar los valores de los parámetros, por lo que se procede a reducir la calibración de "α". El objetivo es determinar α ≠ 0 de modo que p(t) se ajuste lo mejor posible.
                                               • Se comienza con la primera fecha: p0=106.484, sin perdidas; por lo que "t" corresponde a 0. Para "ajustarla lo mejor posible", se hace uso de la tercera ecuación, aplicando una de las diferencias de cuadrados, por lo que se puede observar p1, 0 ≤ i ≤ 11.
                                                 • Esto se utiliza para cada uno de los 12 valores mensuales de IPC dados en la tabla; por lo tanto i = 0 es el mes de febrero, i = 1 corresponde a marzo, y sucesivamente hasta i = 11 que es enero 2011.
                                                   • Debido a que el valor de i = 0 es nulo, el valor p(t) en t0 dado en la primera ecuación, coincide con el primer valor del IPC, estaría expresado como:
                                                     • Empleando técnicas apropiadas de optimización numérica de funciones, podemos calcular el valor del parámetro α que minimiza la función de error e(α) dada en la séptima ecuación.
                                                       • Este tipo de técnicas están en diferentes programas. Utilizando el comando NMinimize del software Mathematica®, el valor que se obtiene es: αˆ= 0.0446935, el cual proporciona el siguiente valor del error: e(αˆ) = 4.24488 .E
                                                         • Por lo tanto, y de acuerdo al modelo y a su ajuste a los datos, la cuarta ecuación indica la fórmula de ajuste buscada.
                                                           • Con la octava ecuación, se pueden hacer predicciones del costo de un producto en cualquier año solicitado:
                                                             • Introduciendo la migración en el modelo.
                                                               • Asumiendo que las inmigraciones y emigraciones son constantes, denotándolas con "e" y con "i", nos conduce a la relación en la décima ecuación, y se puede observar la diferencia respecto al análisis hecho en la segunda ecuación.
                                                                 • Es conveniente destacar (con respecto al análisis realizado en la segunda ecuación), que los movimientos migratorios de emigración se asumen proporcionales a la población p(t) existente en el instante t , mientras que los flujos de inmigración son independientes.
                                                                   • Del modelo exponencial de Malthus, al modelo logístico de Verhuls:
                                                                     • Anteriormente se hablaba que α, cuando era positivo, presentaba un crecimiento ilimitado. Esto no es verosímil, puesto que ninguna población puede crecer de manera ilimitada.
                                                                       • El comportamiento grafico de esta ecuación sería asintótico e incondicionalmente estable.
                                                                         • ¡FIN DEL MAPA MENTAL!
                                                                     • El matemático belga Pierre François Verhulst, años después de Malthus, introduciría un término de "freno no lineal" −γ(p(t))^2, siendo γ>0, y probó que el nuevo modelo explicaba excelentemente la evolución de numerosas poblaciones; además de que no se extinguía a largo plazo.
                                                                   • La solución del modelo exponencial con migración se realiza de nuevo identificando los coeficientes del modelo obtenido: p'(t) = αp(t) +β , con los del modelo general dado en la tercera ecuación; a = α y b = β .
                                                       • Por lo tanto, y de acuerdo al modelo y a su ajuste a los datos, la cuarta ecuación indica la fórmula de ajuste buscada.
               • La constante α , que puede ser tanto positiva como negativa, determina el crecimiento o decrecimiento poblacional.
               • Gráfico: Pirámides de población. Colombia, 1970, 2000 y 2020. Fuente: Elaboración GES, con base en información de https://www.populationpyramid.net/colombia
   • Se conoce mayormente por su uso para establecer el balance de flujo de las poblaciones determinantes que generan variaciones en la población.
     • Gráfica: Flujo de migración poblacional internacional.
   • Propuesto por el economista y demógrafo Thomas R. Malthus en el siglo XIX.

2. Universidad ECCI. Asignatura: Cálculo Diferencial (2BMS). Docente: Diana Poveda. Fecha de entrega: /Agosto/2022.

3. Integrantes del grupo: José Alejandro Rodríguez Rozo (Cód:118348). Cristian Camilo Rozo Callejas (Cód:122062). William Fernando Romero Morales (Cód:120318). Sebastian Rodríguez (Cód:000000). Mayra Alejandra Murillo Gavidia (Cód:000000). Julián Esteban Ñungo Palacios (Cód:000000).

Imágenes y archivos del mapa