Relações de Equivalência

Relações de Equivalência

1. R é uma relação de equivalência se for ao mesmo tempo reflexiva, simétrica e transitiva.

   • Se R é uma relação de equivalência em A, definimos a classe de equivalência de um elemento a∈A, denotada por [a], como o conjunto de todos os elementos de A com os quais a está relacionado.
     • [a]={x∈A; (a,x)∈R}
     • A coleção de classes de equivalência dos elementos de A, denotada por A/R, é chamada quociente de A por R.
       • A/R={[a]; A∈a}

2. Relações de Ordem

   • R é uma relação de ordem parcial se for ao mesmo tempo reflexiva, antissimétrica e transitiva.
     • Uma relação de ordem parcial é uma relação de ordem total se quaisquer dois elementos do conjunto puderem ser comparadas pela relação de ordem.
       • aRb ou bRa, para todo a,b∈A ( lei da dicotomia )
     • Em um conjunto parcialmente ordenado A pela relação R, dizemos que um elemento b cobre o elemento a, se não existe c ∈ A tal que aRc e cRb.
       • ∀x∈A,(aRb e xRb)⇒(a=x ou x=b)