P.A & P.G

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PROGRESSÃO ARITMÉTICA

// IDENTIFICAÇÃO

Somamos sempre o mesmo número.

Exemplos:

• (1, 4, 7, 10, 13, ...)

• (9, 7, 5, 3, 1, ...)

• (8, 8, 8, 8, 8, ...) Está somando 0

// CÁLCULO DA RAZÃO

an → termo

n → posição que ele ocupa

// CLASSIFICAÇÃO DE P.A

• Se r > 0, P.A. crescente.• Se r > 0, P.A. crescente.

• Se r < 0, P.A. decrescente.• Se r < 0, P.A. decrescente.

• Se r = 0, P.A. constante.• Se r = 0, P.A. constante.

// FÓRMULA DO TERMO GERAL

an = a1 + (n – 1).r

// EXERCÍCIO PROPOSTO

1) Considere a sequência (2, 6, 10 14, ...)

a) Encontre o 27º termo.

a27 = ?

a27= a1 + (27-1) .r

a27= 2+26x4

a27= 2+104=106

b) Sabendo que 98 é um dos termos dessa sequência, determine qual posição tal número ocupa nessa sequência.

an=98

98= 2+ (n-1) x 4

96= 4n-4

100= 4n

100 ÷ 4 = 25 ~

// P.A. DE 3 TERMOS – QUESTÃO FALOU A SOMA

Usar a notação (x - r, x, x + r)

// EXERCÍCIO PROPOSTO

Em uma P.A. com 3 termos, a soma é 15 e o terceiro termo é o quádruplo do primeiro. Determine a P.A. mencionada.

Soma= 15

x - r + x + x + r = 15

3 x = 15

15 ÷ 3 = 5

P.A = {5-r, 5, 5+r}

a3 = 4 x a1

5 + r = 4 ( 5- r)

5 + r = 20 - 4r

5r = 16r

16 ÷ 5 = 3,2 ~~

Logo ... {2,5,8}

// P.A. DE 3 TERMOS – QUESTÃO NÃO FALOU A SOMA

Usar a propriedade: (a, b, c) → b = (a+c) ÷ 2

// EXERCÍCIO PROPOSTO

Considere a P.A. a seguir: (2x - 3, x + 1, 3x + 5). Determine o valor de x:

x + 1 = 2x-3 + 3x + 5 ÷ 2

2 ( x+1) = 5x + 2

2x + 2 = 5x + 2

2x = 5x

2x - 5x = 0

-3x = 0 (-1)

3x = 0

x = 0 ÷ 3

x = 0

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// SOMA DOS N PRIMEIROS TERMOS DE UMA P.A.

Sn= ( a1+ an).n ÷ 2

// EXERCÍCIO PROPOSTO

Considere a sequência lógica (3, 7, 11, 15, ...)

a) Determine seu décimo sexto termo.

an = a1 + (n-1). r

a16 = a1 + (16-1) . r

a16 = 3 + 15 x 4

a16 = 3 + 60 = 63

b) Determine a soma dos seus 18 primeiros termos.

an = a1 + (n-1). r

a18= a1 + (18-1) . r

a18 = 3 + 17 x 4

a18 = 3 + 68

a18 = 71

Sn= ( a1+ an).n ÷ 2

s18 = (a1 + a18) . 9

s18 = (3 + 71) . 9

s18 = 74 x 9

s18 = 666

// EXERCÍCIO PROPOSTO 2

Betinho, the Boss é um matemático de mão cheia mas, muito humilde que é, estuda muito! Na primeira semana de preparação para o ENEM, resolveu 10 questões, na segunda semana de preparação resolveu 15 questões, na terceira resolveu 20 e assim sucessivamente, sempre aumentando em 5 o número de questões resolvidas em relação à semana anterior. Assim, determine:

a) Quantas questões Betinho, the Boss resolveu na décima primeira semana de preparação.

a11 = ?

an = a1 + (n-1). r

a11 = a1 + (11-1) . r

a11 = 10 + 10 x 5

a11 = 10 + 60

b) Quantas questões Betinho, the Boss resolveu até a décima primeira semana de preparação.

Dica : Décima primeira + anterior.

Sn= ( a1+ an).n ÷ 2

s11= (a1 + a11) x 11

s11 = 70 x 11 ÷ 2

s11 = 770 ÷ 2

s11 = 385

// QUESTÃO 1

Inserindo-se 5 números entre 18 e 96, de modo que a sequência (18, a2, a3, a4, a5, a6, 96) seja uma progressão aritmética, tem-se a3 igual a:

an = a1 + (n-1). r

a7 = 18 (7-1) . r

96 = 18 + 6. r

78 = 6r

78 ÷ 6 = 13

a3= 18 + (3-1). 13

a3 = 18 + 2 x 13

a3= 18 + 26

a3 = 44

// QUESTÃO 2 O valor de n que torna a sequência (2 + 3n, - 5n, 1 - 4n) uma progressão aritmética pertence ao intervalo:

a) [-2, -1]

b) [-1, 0]

c) [0, 1]

d) [1, 2]

e) [2, 3]

(a, b, c) → b = (a+c) ÷ 2

-5n = 2 + 3n + 1 - 4n ÷ 2

- 10n = 3 - n

-10n + n = 3

- 9n = 3

3 ÷ -9n = -1\3 = 0,3333....

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//QUESTÃO 3

Se em uma progressão aritmética de razão positiva o produto dos três primeiros termos é 384 e a soma é 24, então o quarto termo é:

a) 0 b) 4 c) 8 d) 12 e) 16

QUESTÃO 4

As idades de três pessoas são numericamente iguais aos termos de uma progressão aritmética de razão 5. Se daqui a 3 anos a idade da mais velha será o dobro da idade da mais jovem, nessa época, a soma das três idades será:

a) 36anos b) 38anos c) 42anos d) 45anos e) 48anos

QUESTÃO 5

A quantidade de números naturais ímpares compreendidos entre 10 e 100, não divisíveis por 3 e nem por11, é:

a) 25 b) 28 c) 26 d) 24 e) 27

//QUESTÃO 6

Considere um polígono convexo de nove lados, em que as medidas de seus ângulos internos constituem uma progressão aritmética de razão igual a 5°. Então, seu maior ângulo mede, em graus:

a) 120 b) 130 c) 140 d) 150 e) 160

QUESTÃO 7

Um balão viaja a uma altitude de cruzeiro de 6.600 m. Para atingir esta altitude, ele ascende 1.000 m na primeira hora e, em cada hora seguinte, sobe uma altura 50 m menor que a anterior. Quantas horas leva o balonista para atingir a altitude de voo?

a) 112 horas b) 33horas c) 8horas d) 20horas e) 21horas

//QUESTÃO 9

O número 625 pode ser escrito como uma soma de cinco números inteiros ímpares e consecutivos. Nessas condições, uma das parcelas dessa soma é um número:

a) menor que 120 b) maior que 130 c) quadrado perfeito d) divisível por 9 e) múltiplo de 15

//QUESTÃO 10

Sejam x, y, z números reais tais que a sequência (x, 1, y, 1/4, z) forma, nesta ordem, uma progressão aritmética, então o valor da soma x+y+zé:

a) -3/8 b) 21/8 c) 15/8 d) 2 e) -19/8

//QUESTÃO 11

Um pai resolve depositar todos os meses uma certa quantia na caderneta de poupança de sua filha. Pretende começar com R$5,00 e aumentar R$5,00 por mês, ou seja, depositar R$10,00 no segundo mês, R$15,00 no terceiro mês e assim por diante. Após efetuar o décimo quinto depósito, a quantia total depositada por ele será de

a) R$150,00 b) R$250,00 c) R$400,00 d) R$520,00 e) R$600,00

//QUESTÃO 12

Um agricultor estava perdendo a sua plantação, em virtude da ação de uma praga. Ao consultar um especialista, foi orientado para que pulverizasse, uma vez ao dia, uma determinada quantidade de um certo produto, todos os dias, da seguinte maneira: primeiro dia: 1,0 litro; segundo dia:1,2 litros; terceiro dia: 1,4 litros; ...e assim sucessivamente. Sabendo-se que o total de produto pulverizado foi de 63 litros, o número de dias de duração deste tratamento nesta plantação foi de:

a) 21 b) 22 c) 25 d) 27 e) 30

//QUESTÃO 13

Usando-se um conta-gotas, um produto químico é misturado a uma quantidade de água da seguinte forma: a mistura é feita em intervalos regulares, sendo que no primeiro intervalo são colocadas 4 gotas e nos intervalos seguintes são colocadas 4 gotas mais a quantidade misturada no intervalo anterior. Sabendo-se que no último intervalo o número de gotas é 100,o total de gotas do produto misturadas à água é:

a) 1300 b) 1100 c) 1600 d) 900 e) 1200

//QUESTÃO 14

As somas dos n primeiros termos das sequências aritméticas (8,12,...) e (17,19,...) são iguais. Então, n vale:

a) 18 b) 16 c) 14 d) 10 e) 12

//QUESTÃO 15

Considere a sequência (1, 2, 4, 5, 7, 8, 10,11,...), cujos termos são os números inteiros positivos que não são múltiplos de 3. A soma dos quarenta primeiros termos dessa sequência é:

a) 600 b) 900 c) 1200 d) 1400 e) 1800

//QUESTÃO 16

A média aritmética dos 20 números pares consecutivos, começando em 6 e terminando em 44, vale:

a) 50 b) 40 c) 35 d) 25 e) 20

//QUESTÃO 18

Numa progressão aritmética de 100 termos, a3 = 10 e a98=90. A soma de todos os termos é:

a) 10000 b) 9000 c) 4500 d) 5000 e) 7500

//QUESTÃO 20

A soma dos vinte primeiros termos de uma progressão aritmética é-15. A soma do sexto termo dessa P.A. ,como décimo quinto termo, vale:

a) 3,0 b) 1,0 c) 1,5 d) -1,5 e) -3,0

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PROGRESSÃO GEOMÉTRICA

// IDENTIFICAÇÃO

Multiplicamos sempre pelo mesmo número. Exemplos:

(1, 2, 4, 8, 16, ...) → 2

(9, 3, 1, 1/3, 1/9, ...) → 1/3

(8, 8, 8, 8, 8, ...) → 1

(-2, 6, -18, 54, ...) → -3

// FÓRMULA DO TERMO GERAL

Serve para achar qualquer termo.

• an = a1.q n-1

// EXERCÍCIO PROPOSTO

Considere a sequência (1/32, 1/16, 1/8, 1/4, ...)

a) Encontre o 13° termo.

a13 = a1 x q¹²

a13 = 1/32 x 2¹²

a13 = 1/32 x 4096

a13 = 128

b) Sabendo que 512 é um dos termos dessa sequência, determine qual posição tal número ocupa nessa sequência.

512 = 1/32 x 2¹²

512 = 128

512 ÷ 128 = 15

// P.G. DE 3 TERMOS – QUESTÃO FALOU O PRODUTO

• Usar a notação (x/q, x, x.q)

// P.G. DE 3 TERMOS – QUESTÃO NÃO FALOU O PRODUTO

• Usar a propriedade: (a, b, c) → b² = a.c

// EXERCÍCIO PROPOSTO 3

Considere a P.G. crescente a seguir: (x + 1, x + 7, 3x + 21). Determine o valor de x:

(x+7²) = (x+1). (3x+21)

x² + 14x + 49 = 3x² + 24x + 21

x² + 14x + 49 = 3² + 24x + 21

-2x² - 10x + 28 = 0 (-2x)

x² + 5x - 14 = 0

{-7, 2} Na fórmula de Baskara.

SOMA DE PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS

// SOMA FINITA

Sn= a1.(qｎ-1)÷q−1

Exercício Proposto 1:

Considere a sequência (1, 2, 4, 8, 16,...)

a) Encontre o décimo termo.

an= a1.qｎ-¹

a10= a1.q⁹

a10= 1.2⁹ = 512

b) Determine a soma dos dez primeiros termos dessa sequência

S10= 1.(2¹⁰-1)÷2-1

S10 = 2¹⁰-1

S10= 1024-1 =1023

// SOMA INFINITA

Ｓlim= a1÷ 1−q

Exercício Proposto 2:

Encontre a soma infinita da sequência: 16 + 8 + 4 + 2 + 1 + ...

É uma P.G de razão(q) = 1/2

16÷1-1/2 = 16÷1/2 = 16x2/1 = 32

Exercício Proposto 3:

Encontre o valor de x na equação: 8x + 4x + 2x + x + ... = 128

É uma P.G de razão(q) = 1/2

128= 8x ÷ 1-1/2

128 = 8x ÷ 1/2

64 = 8x x= 8

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// QUESTÃO 1

Desde 1992, certo instituto de pesquisa vem monitorando, no início de cada ano, o crescimento populacional de uma pequena cidade do interior do estado. Os itens a seguir mostram o resultado dos três primeiros anos, em milhares de habitantes. I. Ano de 1992, População(em milhares) = 25,6. II. Ano de 1993, População(em milhares) = 38,4. II. Ano de 1994, População(em milhares) = 57,6. Mantendo-se esta mesma progressão de crescimento, o número de habitantes dessa cidade, no início do ano 2000, em milhares, será, aproximadamente, de:

a) 204 b) 384 c) 576 d) 656 e) 728

// QUESTÃO 2

Uma fábrica vendia 12 camisetas por mês para certa rede de academias desde janeiro de um determinado ano. Devido ao verão, essa venda foi triplicada a cada mês, começando em setembro e aumentando até dezembro. O total de camisetas vendidas nesse quadrimestre e a média de vendas, por mês, durante o ano, foram, respectivamente:

a) 1536 e 128 b) 1440 e 128 c) 1440 e 84 d) 480 e 84 e) 480 e 48

// QUESTÃO 3

O terceiro e o sétimo termos de uma Progressão Geométrica valem, respetivamente, 10 e 18. O quinto termo dessa Progressão é:

// EXERCÍCIOS

// QUESTÃO 1

Dada a progressão geométrica 1, 3, 9, 27, ..... Se a sua soma é 3280, então ela apresenta:

a) 9 termos b) 8 termos c) 7 termos d) 6 termos e) 5 termos

Sn= a1.(qｎ-1)÷q−1 3561│3

3280 = 1.(3ｎ-1)÷3-1 2187 │3

3280= 3n-1÷2 729│3

6560 = 3n-1 243│3

3n = 6561 81│3

3n = 3⁸ 27│3

n = 8 9│3

3 │3

1│3 = 3⁸

// QUESTÃO 2

Dê a soma dos termos da seguinte PG (7, 14, 28, ... ,3584).

an = a1.(qｎ-1)

3584 =7.2ｎ-1

512= 2ｎ-1

2⁹ = 2ｎ-1

9 = n-1

n = 10

Sn= a1.(qｎ-1)÷q−1

S10 = 7.(2¹⁰-1) =

7.(1024-1)

7x1023 = 7161

// QUESTÃO 3

Escreva o número 0,2222.. em forma de fração.

0,2 + 0,02 + 0,002 +...

2/10 + 2/100 +2/1000 + ....

(2/10 ; 2/100; 2/1000;...)

A razão é 1/10

Ｓlim = a1÷ 1-q

Ｓlim = 2/10 ÷ 1/10

Ｓlim = 2/10 ÷ 9/10 = 2/9

// QUESTÃO 4

A soma dos termos da sequência (1/2;1/3;2/9;4/27;...) é:

q= 1/3 ÷ 1/2 = 1/3 x 2/1 = 2/3

Ｓlim = a1÷ 1-q

Ｓlim = 1/2÷1 - 2/3

Ｓlim = 1/2 ÷ 1/3 = 1/2 x 3/1 = 3/2

Ｓlim = 1,5 = 15.10⁻¹

a) 15 × 10-1

b) -3 × 10-1

c) 15 × 10-2

d) 5 × 10-1

e) 3/5

// QUESTÃO 5

Para que a soma dos n primeiros termos da Progressão Geométrica 3, 6, 12, 24, ... seja um número compreendido entre 50.000 e 100.000, devemos tornar n igual a:

a) 16 b) 15 c) 14 d) 13 e) 12

// QUESTÃO 6

O valor da soma dos termos da progressão geométrica finita (1,5, ..., 78125) é:

a) 97656 b) 98342 c) 88654 d) 99936 e) 83525

// QUESTÃO 7

z é um número complexo tal que z7 = 1, z ≠ 1. Calcule: 1 + z + z2 + z3 + z4 + z5 + z6.

Gabarito: Zero

// QUESTÃO 8

Resolva a equação x + x/3 + x/9 + x/27 + ... = 3/2

Gabarito: x = 40