Logarytm i funkcja logarytmiczna

Página 1

Logarytm i funkcja logarytmiczna

Odkrywcą logarytmów był John Napier - szkocki matematyk (w roku 1617).

Potęgowanie ma dwa działania odwrotne: pierwiastkowanie i logarytmowanie.

\({log_{a}}^{b}\) gdzie a to podstawa logarytmu

b to liczba logarytmowana

Definicja

Logarytmem liczby b przy podstawie a nazywamy taką liczbę c, że a podniesione do potęgi c daje liczbę b.

\({log_{a}}^{b} = c\) to \(a^{c}=b\) ; a>0, \(a\neq 0\), b>0

Logarytmowanie polega na obliczaniu wykładnika potęgi, gdy znamy wartość potęgi i podstawę potęgi.

Przykłady

Zad 1

Oblicz wartości logarytmów:

a) \({log_{2}}^{16} = 4 \) bo \(2^{^{4}}\)

b) \({log_{2}}^{\frac{1}{8}}=-3\) bo \(2^{-3} = \frac{1}{8}\)

Obejrzyj film

O logarytmach na stronie portalu Matemaks :

http://www.matemaks.pl/logarytmy.php

http://youtu.be/Yd3rBJt8hYM (Enclavar)

Funkcja logarytmiczna

definicja

Funkcję \(f(x)=log_{a})x\), gdzie a>0, \(a\neq 1\) i x>0 nazywamy funkcją logarytmiczną o podstawie a.

Dziedziną funkcji logarytmicznej jest zbiór \(R_{+}\).

Przeanalizuj wykresy funkcji:

https://www.desmos.com/calculator/bmw807yna7

Obejrzyj wizualizację zadań:

https://www.desmos.com/calculator/welidj0r5x

Własności logarytmów

Własności logarytmów

Podstawowe twierdzenia dotyczące działań na logarytmach:

Twierdzenie 1

Jeżeli x>0 i y>0 i a>0 i \(a\neq 1\), to \(log_{a}(x*y)=log_{a}x+log_{a}y\)

Twierdzenie 2

Jeżeli x>0 i y>0 i a>0 i \(a\neq 1\), to \(log_{a}\frac{x}{y}=log_{a}x-log_{a}y\)

Twierdzenie 3

Jeżeli x>0 i a>0 i \(a\neq 1\), i \(k\in R\), to \(log_{a}x^{k}=k*log_{a}x\)

Twierdzenie 4

Jeżeli a>0 i \(a\neq 1\) i b>0 i c>0 i \(c\neq 1\), to \(log_{a}b=\frac{log_{c}b}{log_{c}a}\)

Jeżeli c=b to \(log_{a}b=\frac{1}{log_{b}a}\)

Szczególnymi przypadkami własności logarytmów są wzory:

1) \(log_{a}\frac{1}{b}=-log_{a}b\)

2) \(log_{a}\sqrt[k]{b}=\frac{log_{a}b}{k}\)

3) \(log_{a}b=\frac{1}{log_{b}a}\)

Zapamiętaj wzory, ułatwią Ci to fiszki "Własności logarytmów"

Logarytmy o podstawie 10 nazywamy logarytmami dziesiętnymi i zapisujemy:

\(log_{10}x = log x\)