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Solución

de Ecuaciones en una variable

MARCO TEÓRICO.

.

En la ingeniería es usual encontrar modelos que simulan

un comportamiento de una variable con respecto a otra, y puede llegar a ser

necesario solucionar ecuaciones relacionadas con esos modelos del tipo:

Sin embargo puede no ser posible hallar los números reales que cumplan

la igualdad por lo cual suelen usarse herramientas computacionales basadas en

algoritmos que se aproximan a dichas soluciones. Algunos de estos métodos

como el método de la bisección y el método de Newton buscan valores para los

cuales la función se hace cero, estos números son conocidos como la o las

raíces de una función. Usualmente suelen ser métodos iterativos en los cuales

se debe exigir ciertas condiciones para garantizar que el método se acerque a

la solución de la ecuación solicitada. Por lo cual para el ejemplo del tipo

Despejamos simplemente uno de los lados de la igual obteniendo una

expresión del tipo

Para poder aplicar los algoritmos anteriormente nombrados.

Método de bisección

El método de

Bisección es uno de los métodos más sencillos para resolver ecuaciones en una

variable. Se basa en el teorema del valor intermedio, el cual establece que

toda función continua f en un intervalo cerrado [a,b] toma todos los

valores que se hallan entre f(a) y f(b). Esto es

que todo valor entre f(a) y f(b) es la imagen de

al menos un valor en el intervalo [a,b]. En caso de que f(a) y f(b)

tengan signos opuestos, el valor cero sería un valor intermedio entre f(a)

y f(b), por lo que con certeza existe un p en [a,b] que

cumple f(p) = 0. De esta forma, se asegura la existencia de al

menos una solución de la ecuación f(x) = 0.

· VENTAJA: Con seguridad

se va a acercar a la solución de la raíz

· DESVENTAJA: Aun cuando

converge, si los números son muy distantes puede tomar mucho tiempo encontrar

la raíz.

El método

consiste en tomar dos valores que cumplan la condición que al ser evaluados tengan

valores distintos. Luego se toma el nuevo valor como el punto medio entre los

dos números y se revisa el valor que toma la función en ese número. Si la

función obtiene el valor nulo en ese número el método termina, caso contrario

se reemplaza el valor inicial que tenga el mismo signo de la función obtenida

al evaluar el valor en el punto medio, y se realiza la misma operación.

Método de punto

fijo:

Un punto fijo es

un valor real para una función que cumpla la condición siguiente: , es

decir al reemplazar el número en la función se obtiene el mismo número. Para

el caso de algunas ecuaciones o de modelos de estabilidad relacionados con la

economía se desean hallar puntos fijos para estabilizar los procesos

obteniendo resultados óptimos.

· VENTAJA:

Al igual que el método de bisección se puede asegurar la convergencia cuando

todos los valores de la función es un subconjunto del intervalo inicial, y

sí la derivada en todo punto del intervalo es menor a 1.

· DESVENTAJA: La cantidad de

condiciones exigidas reduce enormemente la posibilidad de hallar dicho valor,

y en muchas ocasiones no converge.

El método consiste

en tomar un número real, y aplicar el valor de la función. Si dicho valor es

igual al número real tomado el método termina, caso contrario al nuevo número

se aplica la función nuevamente y se realiza dicha comparación.

Método de

Newton-Raphson

El método de Newton-Raphson es uno de los métodos

más populares y utilizados para realizar la búsqueda de raíces de una función

general. La idea consiste en hallar los puntos de corte de rectas tangentes a

la curva descrita por la función y el eje , de tal manera que se

vaya aproximando los resultados al valor donde es nula.

· VENTAJA: La convergencia

es muy rápida.

· DESVENTAJA: La convergencia

depende de la escogencia del punto donde inicia la iteración y que la función

admita derivada, y si la función presenta múltiples puntos de inflexión o

pendientes grandes en el entorno de la raíz, entonces la probabilidad de que

el algoritmo diverja aumenta.

El método busca aproximar la raíz mediante la

sucesión recursiva:

(1)

Donde el valor es el punto inicial donde va a iniciar la

sucesión.

PROCEDIMIENTO A UTILIZAR:

Ejecutar MATLAB (Inicio – Todos los

programas – buscar MATLAB).

Una vez cargada la ventana de MATLAB,

vamos a la parte superior izquierda y damos clic en el editor (Archivo –

Nuevo)

PARA CADA UNO DE LOS

PROGRAMAS SE DEBE CREAR UN ARCHIVO .M NUEVO

Elabore un programa que vaya

realizando los siguientes pasos:

a.

Método

de la Bisección:

1. Pregunte la función y guárdela

mediante los comandos inline e input en la variable f.

2. Pregunte el valor del extremo inferior del

intervalo [a,b] y guárdela mediante el comando input en la variable a.

3. Pregunte el valor del extremo superior del

intervalo [a,b] y guárdela mediante el comando input en la variable b.

4. Como se va a considerar una respuesta

aproximada con cierto error debe preguntar el valor del error tolerado y guárdela

mediante el comando input en la variable tol.

5. Para evitar que el programa se quede

haciendo una cantidad muy grande de operaciones mientras determina la raíz

que cumpla con la tolerancia debe preguntar el máximo número de iteraciones

que se van a permitir y guárdela mediante el comando input en la variable maxiter.

6. Realice la operación f(a)*f(b) y mediante

un if

finalice el programa si ambos

valores poseen el mismo signo mostrando dicho mensaje en la pantalla con el

comando fprintf seguido por el

comando return..

7. Mediante el comando for realice un ciclo

para una variable k variando desde 1

hasta el máximo número de iteraciones que hemos permitido donde se realizará

lo siguiente:

8. Defina la variable c como el punto medio

entre los valores de a y b. (Recordar que el

punto medio coincide con el promedio de los dos números)

9. Usando el comando if verifique si el

valor de f(m) en valor absoluto,

es menor que el valor de tol ya

que de ser así, el programa debe terminar enviando un mensaje mediante el

comando fprintf que se ha

encontrado una raíz en el punto m

con un error absoluto de f(m) en

valor absoluto.

10. Si la sentencia del numeral 9 no es válida

determine cuál de las variables a

ó b, debe ser reemplazada debido a

que coincide con el signo de la función en c Para ello realice el siguiente if.

if (f(c)*f(a)>0)

a=c;

else

b=c;

end

11. Finalice el ciclo del numeral 7 con un end.

12. Si al cumplir el ciclo no se ha alcanzado la

raíz con la aproximación deseada muestre en la pantalla mediante el comando fprintf un mensaje donde indique el

valor obtenido después del límite permitido y el error que este valor puede

tener.

b.

Método

del punto fijo:

1. Pregunte la función y

guárdela mediante los comando inline

e input en la variable f.

2. Pregunte el valor inicial y guárdela

mediante el comando input en la

variable x.

3. Como se va a considerar una respuesta

aproximada con cierto error debe preguntar el valor del error tolerado y guárdela

mediante el comando input en la

variable tol.

4. Para evitar que el programa se quede

haciendo una cantidad muy grande de operaciones mientras determina la raíz

que cumpla con la tolerancia debe preguntar el máximo número de iteraciones

que se van a permitir y guárdela mediante el comando input en la variable maxiter.

5. Genere un ciclo mediante el comando for

para una variable k que inicie

desde 1 hasta el máximo número de iteraciones que se ha permitido donde se

realicen las siguientes operaciones.

6.

Mediante

el comando if verifique si la diferencia en valor absoluto del valor en x y su imagen por la función f(x) es menor que el error tol.

Si es verdadera envíe un mensaje donde indique que se ha encontrado el punto

fijo de la función en el valor x con un error correspondiente a

la diferencia del punto y su valor funcional en valor absoluto.

7. Redefina la variable x con el valor de fx.

8.

Finalice

el ciclo del numeral 5 con el comando end.

9.

Si

al cumplir el ciclo no se ha alcanzado el punto fijo con la aproximación

deseada muestre en la pantalla mediante el comando fprintf un mensaje donde indique el valor obtenido después del

límite permitido y el error que este valor puede tener.

c.

Método

de Newton:

1. Pregunte la función y

guárdela mediante los comandos inline

e input en la variable f.

2. Pregunte la derivada de la función y

guárdela mediante los comandos inline

e input en la variable df.

3. Pregunte el valor inicial y guárdela

mediante el comando input en la

variable x.

4. Como se va a considerar una respuesta

aproximada con cierto error debe preguntar el valor del error tolerado y la

guarde mediante el comando input en

la variable tol.

5. Para evitar que el programa se quede

haciendo una cantidad muy grande de operaciones mientras determina la raíz

que cumpla con la tolerancia debe preguntar el máximo número de iteraciones

que se van a permitir y la guarde mediante el comando input en la variable maxiter.

6. Realice un ciclo con el comando for

iniciando desde 1 hasta el máximo número de iteraciones para una variable k , y realice las siguientes

operaciones:

7. Mediante un if verifique si el

valor de la variable fx llega a ser 0. De ser así

muestre en la pantalla que se ha hallado la raíz de la función.

8. Defina la variable xi usando la fórmula (1) de la guía en la sección teórica.

9. Mediante un if verifique si la

diferencia en valor absoluto de las variables x y xi llega a ser menor que la

variable tol. De ser así muestre en la pantalla que se ha hallado la

raíz de la función en el valor xi con un error igual a la

diferencia en valor absoluto de las variables x y xi.

10. Si la proposición del numeral 10 es falsa

redefina la variable x con el

valor de la variable xi.

11. Finalice el ciclo con el comando end.

12. Si al cumplir el ciclo no se ha alcanzado la

raíz con la aproximación deseada muestre en la pantalla mediante el comando fprintf un mensaje donde indique el

valor obtenido después del límite permitido y el error que este valor puede

tener