ESPACIOS VECTORIALES - created from Mind Map

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RANGO

ESPACIO NULO

ESPACIO RENGLÓN Y COLUMNA

Es el numero máximo de columnas y filas respectivamente que son lineal mente independientes tanto los rangos fila como columna siempre son iguales: este numero es llamado normalmente rango A rg(A).

RANGO DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL. El rango también es extensible a las aplicaciones lineales de las cuales las matrices son una representación fijada la base. Definamos en primer lugar el concepto de rango de una aplicación lineal de forma genérica. Dada aplicación o transformación lineal: f:K^n ->L^m

El número de columnas independientes de una matriz A de m filas y n columnas es igual a la dimensión del espacio columna de A. También la dimensión del espacio fila determina el rango. El rango de A será, por tanto, un número no negativo, menor o igual que el mínimo entre m y n

CALCULO DEL RANGO,Dada una aplicación lineal su rango puede calcularse fácilmente considerando una base cualquiera y determinando el rango de la matriz que representa la aplicación en dicha base, ya que el número obtenido no dependerá de la elección de la base. Dada una matriz su rango puede determinarse sencillamente a partir del cálculo de determinantes. Dada la matriz Af de una aplicación lineal

se define el rango como el máximo entero r tal que existe un menor no nulo de orden r:

Otra forma de obtener el rango de una matriz es mediante el método de Gauss-Jordan, y será igual al número de filas no nulas de la matriz obtenida con este método

Existen dos subespacios importantes que se pueden asociar con la matriz A: el espacio nulo (kernel o núcleo) y el rango (o imagen). El espacio nulo de una matriz se puede definir como:

Estos conceptos también se aplican para las transformaciones lineales. Sea una transformación lineal T tal que . El espacio nulo se define como

Se le denomina nulidad, v(T), a la dimensión de N. Se le representa como. nulidad (T) = dim (N(T))=v(T)

Una matriz A por si misma puede generar dos espacios vectoriales: el primero se forma por combinaciones lineales de los renglones, y el segundo al considerar en las combinaciones las columnas. Dichos espacios se conocen como:

Espacio Renglon

Espacio Columna

Para obtener la dimensi´on del espacio rengl´on basta con escalonar la matriz hasta obtener el n´umero de renglones linealmente independientes. Dicho n´umero tambi´en es conocido como rango de la matriz A, denotado como R (A) = dim LR (A) ⇒ dim LC (A).

El escalonamiento arroj´o dos renglones independientes. Al combinarlos linealmente con escalares gen´ericos se obtendr´a el espacio rengl´on de F. a (1, 0, 0, 1) + b (0, 1, −1, 0) = (a, b, −b, a) ∴ LR (F) = {(a, b, −b, a)|a, b ∈ R}

En este caso, se necesita transponer la matriz para trabajar con sus columnas.

Nuevamente, con una combinación lineal

Los espacios son diferentes entre sí, pero ambos tienen dimensión 2.

No es necesario llevar el escalonamiento de la matriz a la forma can´onica escalonada, pero es buena pr´actica, ya que se obtendr´a la base natural del espacio rengl´on o columna: la combinaci´on lineal de los renglones (o columnas) ser´a precisa y no tendr´a ambig¨uedad en las restricciones del espacio vectorial.