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Matrices y determinantes

Matrices

Arreglos rectangulares de números que tiene filas y columnas

Tipos de matrices

Matriz cuadrada

Tiene el mismo numero de filas que de columnas

Matriz diagonal

Todos sus elementos son ceros excepto en la diagonal principal

Matriz identidad

Es una matriz cuadrada que todos sus elementos son ceros, excepto en la diagonal principal que son unos

Matriz transpuesta

La matriz transpuesta de una matriz se obtiene cambiando sus filas por sus columnas

Matriz nula

Todos los elementos de la matriz son ceros

Operaciones con matrices

Suma y resta

Se puede efectuar entre matrices de igual tamaño aplicando suma y resta entre los elementos correspondientes

Producto

Se puede efectuar si el número de columnas de la primera matriz es igual al número de filas de la segunda

Se realiza sumando los productos parciales entre las filas y las columnas

Producto de un escalar por una matriz

Se puede definir como un producto punto

Sistemas de ecuaciones lineales

Matriz escalonada reducida por filas

Debe cumplir las siguientes condiciones

1. Si la matriz tiene una o mas filas de ceros, estas deben encontrarse al final de las filas

2. El primer elemento distinto de cero al leer de izquierda a derecha debe ser el uno, al que se le denomina uno principal

3. El uno principal debe encontrarse abajo y a la derecha del uno principal de la fila anterior

4. En la columna del uno principal el resto de elementos debe ser cero

Toda matriz identidad es una matriz escalonada reducida por filas

Si solo cumple las primeras 3 condiciones es una matriz escalonada por filas

Solución

Un sistemas de ecuaciones lineales puede tener una única solución, infinitas soluciones o ninguna solución

Métodos

Gauss

En este método la matriz ampliada (A|b) se reduce a una matriz escalonada reducida por filas

Gauss-Jordan

La matriz se reduce a una escalonada por filas

Descomposición L. U.

Para hallar la matriz U se pueden utilizar operaciones elementales para convertir en ceros los elementos inferiores a la diagonal principal, y para la matriz L se hace una matriz identidad excepto que los elementos que se encuentran abajo de de la diagonal principal son reemplazados por los coeficientes usados en la obtención de la matriz U

Se debe realizar el cambio de variables usando la matriz L para obtener una solución inicial y luego con la matriz U se puede acabar de resolver el sistema

A*X=b

L*Z=b U*X=Z

Matriz inversa

Una matriz es invertible si existe otra de igual tamaño que al multiplicar a la primera el producto sea una matriz identidad

No toda matriz en invertible

Cálculo de matriz inversa

Para obtener la matriz inversa de una matriz se le debe aumentar la matriz identidad y mediante operaciones elementales se debe transformar la primera matriz en la matriz identidad y el resultado que quede del lado derecho será la inversa

Matriz binaria

Compuesta por ceros y unos

Matriz aumentada

Es aquella a la que se aumentan nuevos elementos o matrices

Determinantes

Un número escalar obtenido mediante una función determinante

Permutaciones

Si el conjunto de elementos ordenados de forma ascendente S=(1,2,3...,n) las permutaciones son reordenamientos de S teniendo en total n! permutaciones

Propiedades del determinante

El determinante de una matriz transpuesta tiene el mismo valor que el determinante de la matriz original

Si se obtiene una matriz B intercambiando filas o columnasde una matriz A entonces el determinante de A es igual a menos determinante de B (det(A)= -det(B))

Si una matriz cuadrada tiene filas o columnas de ceros entonces el determinante es cero

Si una matriz tiene 2 filas o columnas iguales, el determinante es cero

Si se obtiene una matriz B multiplicando cada columna por un número real a una matriz B conocida, entonces el determinante de B es igual al de A