Sin título

variaciones

• Diego ANdre Mazariegos Vasquez
• 5to CCLL

a) Variaciones sin repetición

• En las variaciones sin repetición, también denominadas variaciones ordinarias, ningún elemento del grupo inicial se puede repetir.
• Por ejemplo, si a partir de las 5 vocales formamos grupos de 3 vocales, el grupo “A – A – I” no valdría ya que se repite la vocal “A”.
• En las variaciones sin repetición se tiene que cumplir que n <= m.
• Es decir, con las 5 vocales (m) no podemos formar grupos de 6 vocales (n) ya que al menos una se tendría que repetir.

Diapositiva 3

• Las variaciones sin repetición se representan por o también por
• Por ejemplo: Tenemos las 5 vocales y quiero ver cuantos grupos de 3 vocales podemos formar:
• A – E – I
• E – O - U
• I – U – A
• Para calcular el número de grupos que se puede formar se aplica la fórmula.
• Siendo:
• m : número total de elementos
• n : tamaño de los grupos
• En el ejemplo anterior la fórmula aplicada sería:
• Se podrían formar hasta 60 grupos diferentes de 3 vocales.
• Las variaciones sin repetición también se pueden calcular utilizando factoriales.
• El factorial de un número “n” se representa por n! y se calcula:
• n! = n * (n-1) * (n-2) * …* 3 * 2 * 1

Diapositiva 4

• Veamos otros ejemplos:
• En una clase de 20 alumnos se organiza un campeonato de ajedrez y se premia a los 5 primeros; ¿Cuántos resultados diferentes pueden darse?
• En este ejemplo el orden importa: no es lo mismo quedar 1º que 3º.
• En un club se celebran elecciones para elegir presidente, 1er vocal y 2 vocal entre 40 candidatos; ¿Cuántos resultados diferentes pueden darse?
• En una carrera de caballos con 15 participantes haces una apuesta triple (acertar caballo ganador, 2º y 3er clasificado); ¿Cuántos resultados diferentes pueden darse?

b) Variaciones con repetición

• En las variaciones con sí se puede repetir una o varias veces un mismo elemento.
• Por ejemplo, si a partir de las 5 vocales formamos grupos de 3 vocales, el grupo “A – A – I” sí valdría.
• E grupo “A – A – A” también valdría.
• En las variaciones con repetición es posible que n > m.
• Es decir, con las 5 vocales (m) podemos formar grupos de 8 vocales (n):
• “A – E – A – I – O – E – U - A”
• Las variaciones con repetición se representan por

Diapositiva 6

• El orden sigue siendo relevante:
• A – A – I
• A – I - A
• Cuentan como 2 grupos diferentes.
• Para calcular el número de grupos que se pueden formar se aplica la fórmula.
• Siendo:
• m : número total de elementos
• n : tamaño de los grupos
• En el ejemplo de cuantos grupos de 3 vocales se pueden formar con las 5 vocales el resultado sería:

Diapositiva 7

• Veamos algunos ejemplos:
• En una quiniela de 14 apuestas (1 = gana; X = empata; 2 = pierde) cuantos resultados diferentes pueden darse.
• Aplicamos la fórmula de variaciones con repetición ya que las 3 opciones (1 – X – 2) se pueden repetir hasta 14 veces.
• m = 3 (1 – X – 2)
• n = 14 (cada quiniela tiene 14 partidos)
• En una bolsa hay 5 números (del 1 al 5) y hacemos 6 extracciones (cada vez que sacamos un número lo volvemos a meter en la bolsa por lo que se puede repetir); ¿Cuántos resultados pueden darse?
• m = 5 (números del 1 al 5)
• n = 6 (cada resultado está formado por 6 extracciones)
• En una clase de 20 alumnos se entregan 3 premios (música, deporte y arte); un mismo alumno puede repetir premio. ¿Cuantos posibles resultados pueden darse?
• m = 20 (nº de alumnos de la clase)
• n = 3 (cada posible resultado está formado por 3 premiados)

Diapositiva 8

• Se llama variaciones ordinarias de m elementos tomados de n en n (m = n) a los distintos grupos formados por n elementos, eligiéndolos de entre los m elementos de que disponemos, de forma que:
• – No entran todos los elementos.
• – Sí importa el orden.
• – No se repiten los elementos.
• Por lo tanto, una variación será considerada distinta de otra si difieren en algún elemento como si están situados en distinto orden.

Diapositiva 9

• Se llaman variaciones con repetición de m elementos tomados de n en n a las distintas agrupaciones formados por n elementos de manera que:
• – No entran todos los elementos si m es mayor que n. Sí pueden entrar todos los elementos si m = n
• – Sí importa el orden.
• – Sí se repiten los elementos.

tarea de matemáticas 1