MATRICES

UAEM

• Unidad Académica Profesional
• Cuautitlán Izcalli
• Unidad
• de Aprendizaje ÁLGEBRA LINEAL
• Licenciatura
• en Logística
• Modalidad a Distancia
• Alumno:
• Brenda Susana Montes de Oca Paredes
• Profesor:
• Edel Cruz García

Definición de Matriz

• Los comienzos de las matrices y los determinantes datan del siglo II AC, aunque hay indicios desde IV siglos AC. Sin embargo, no fue hasta fines del siglo XVII que las ideas reaparecieron y se desarrollaron con fuerza. Los comienzos de las matrices y los determinantes surgen a través del estudio de sistemas de ecuaciones lineales. En Babilonia se estudiaron problemas que involucraban a ecuaciones lineales simultáneas y algunos de estos son conservados en tabletas de arcilla que permanecieron en el tiempo.Los Chinos, entre los años 200 AC y 100 AC, estuvieron mucho más cerca de las matrices que los babilonios. Verdaderamente es justo decir que el texto “Nueve Capítulos de Arte Matemático”, escrito durante la Dinastía Han, da el primer ejemplo conocido sobre métodos matriciales.
• Una matriz es un conjunto de números, objetos u operadores,
• dispuestos en un arreglo bidimensional de renglones y
• columnas, encerrados entre paréntesis rectangulares, que
• obedecen a ciertas reglas algebraicas.

MATRICES

• Una matriz es un arreglo de números reales por filas y columnas tales como las que se muestran en el recuadro:
• La matriz (1) es una matriz de cuatro filas y tres columnas (de
• dimensión 4x3). La matriz (2) es una matriz de 2 filas y 2 columnas (cuadrada,
• de dimensión 2x2). La matriz (3) es una matriz de 3 filas y 3 columnas
• (cuadrada, de dimensión 3x3). La matriz (4) tiene 3 filas y 4 columnas (de
• dimensión 3x4).
• 

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• Cada una de las partes integrantes del arreglo es llamado elemento de la matriz y su localización en el
• arreglo es identificado por un sistema de doble subíndice, en el cual el primer subíndice indica el renglón
• y el segundo subíndice indica la columna.
• En donde el elemento aij está localizado en el renglón i-ésimo y la j-ésima columna del arreglo A .
• Una matriz que tiene n renglones y m columnas se dice que es una matriz de orden n x m (se lee como
• matriz de orden n por m ).
• Cuando se trata de matrices muy grandes se representan con una sola letra mayúscula, o por un solo
• elemento con doble índice: A = [a y ]
• 
• Pie de imagen: MATRIZ DE ORDEN n x m

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• Una matriz con un solo renglón o con una sola columna es conocida como vector renglón o vector
• columna respectivamente. Por ejemplo, la matriz B es un vector renglón de 1× 5 y la matriz C es un
• vector columna de 3×1:
• B = [b1 b2 b3 b4 b5] , C= [C1] C2
• C3
• Una matriz es cuadrada si posee el mismo número de renglones y de columnas, La diagonal principal de una matriz cuadrada es el conjunto de elementos que aparecen sobre la diagonal del
• arreglo que va desde el extremo superior izquierdo al extremo inferior derecho, es decir, aquellos elementos
• ii a . En el ejemplo anterior los elementos de la diagonal principal son ,5,0,4 −11.
• 
• Pie de imagen: EJEMPLO DE MATRIZ CUADRADA

TIPOS DE MATRICES

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OPERACIONES DE MATRICES

• SUMA
• La suma de matrices C = A + B se define como : Cij = Aij + Bij . Esto es, la suma de matrices es igual a
• la suma de los elementos correspondientes de ambas matrices que tienen el mismo orden.
• La operación suma cumple con las siguientes propiedades:
• *Asociativa: (A + B ) + C = A + (B+C)
• *Conmutativa: (A+ B) = (B + A)
• 
• Pie de imagen: EJEMPLO DE SUMA DE MATRICES

Resta

• La diferencia o resta de matrices C = A − B se define como Cij = Aij - Bij .
• Esto es, la diferencia de
• matrices es igual a la resta de los elementos correspondientes de ambas matrices que tienen el mismo
• orden.
• 

Multiplicación

• Multiplicación de una matriz por un escalar
• El producto de una matriz A por un escalar k se define como: aij k ⋅ A = k ⋅ , esto es, se multiplica cada
• uno de los elementos de la matriz por el escalar.
• Multiplicación de matrices
• Para efectuar el producto de dos matrices se requiere que el número de columnas de la primera matriz
• sea igual que el número de renglones de la segunda. Cuando sucede esto se dice que las matrices son
• conformables para la multiplicación. Esto es, si A es de orden p × n y B es de orden n × q el orden de
• la matriz producto es p × q .
• 
• Pie de imagen: Ejemplo de una matriz por un escalar

MATRICES POR BLOQUES

• https://www.youtube.com/watch?v=TTq3Ygv9w0U (Enclavar)
• En algunas situaciones es necesario y prudente manejar las matrices como bloques de matrices más pequeñas, estas son llamadas submatrices, y después multiplicar bloque por bloque en vez de componente por componente. La multiplicación en bloques es muy similar a la multiplicación normal de matrices.
• A continuación en el video adjunto se muestra como es el proceso para realizar una multiplicación de matrices por bloques.

REGLAS DEL ÁLGEBRA DE MATRICES

INVERSA DE UNA MATRIZ

• Dada una matriz cuadrada A, si existe otra matriz B del mismo orden que verifique: A . B = B . A = I ( I = matriz identidad ), se dice que B es la matriz inversa de A y se representa por A-1.
• Si existe la matriz inversa de A, se dice que la matriz A es inversible o regular. En caso contrario, se dice que la matriz A es singular.
• ¿Cuándo tiene inversa una matriz? Una matriz A de orden n (n filas y n columnas) tiene inversa cuando su rango es n, es decir, cuando el rango de dicha matriz coincide con su orden.
• ¿Cómo se puede calcular la inversa de una matriz? Básicamente hay tres procedimientos para calcular la inversa de una matriz. Son los siguientes:
• 1º Aplicando la definición y resolviendo los sistemas de ecuaciones correspondientes. Resulta muy laborioso cuando el orden de la matriz es superior a 2.
• 2º Por el método de Gauss.
• 3º Por determinantes y adjuntos
• https://www.youtube.com/watch?v=nHEFxcJ-QPM (Enclavar)
• Pie de imagen: EJEMPLO DE COMO REALIZAR LA MATRIZ INVERSA POR EL MÉTODO DE GAUSS

REFERENCIAS

• Matrices y Determinantes. (s.f). [en línea]. México. Recuperado de: http://dgenp.unam.mx/direccgral/secacad/cmatematicas/pdf/m63unidad05.pdf
• Barreto, J. (s.f.). Álgebra lineal en Contexto- Las matrices y sus Operaciones. México. [en línea]. Recuperado de: http://jmvertiz.posgrado.unam.mx/pmdcmos02/formatos/algebra-lineal-contexto.pdf
• O´Connor, J., Robertson E., (s.f.). Historia. [en línea]. México. 07 de marzo de 2016. Recuperado de: http://palillo.usach.cl/Pamela/historia.htm
• Herrera, A., Tipos de Matrices. [en línea]. México. Recuperado de : http://www.uv.mx/personal/aherrera/files/2014/08/10a.-TIPOS-DE-MATRICES-1.pdf
• Waner, S., (julio 2007). Matemáticas finitas resumen del tema: álgebra de matrices. [en línea]. México. Recuperado de: http://www.zweigmedia.com/MundoReal/Summary3a.html
• Pena, A., (año 2006). ,Matrices: inversa de una matriz. [en línea]. México. Recuperado de: http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/matrices/inversa_de_una_matriz.h...