23158586
Description
Flashcards by AGGELOS PAPANIKOLAOU, updated more than 1 year ago
More
|
Created by AGGELOS PAPANIKOLAOU
almost 4 years ago
|
|
|
|
Copied by AGGELOS PAPANIKOLAOU
almost 4 years ago
|
|
| Question | Answer |
| Έστω δύο μεταβλητά μεγέθη x, y που συνδέονται με τη σχέση y=f(x), όπου f είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο x0. Τι ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς x, στο σημείο x0; | Αν δύο μεταβλητά μεγέθη x, y συνδέονται με τη σχέση y=f(x), όταν f είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο x0, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το x στο σημείο x0 την παράγωγο f ′(x0). |
| Ποια σχέση συνδέει την επιτάχυνση α(t0) ενός κινητού τη χρονική στιγμή t0, με την ταχύτητα υ(t) ως προς το χρόνο t τη χρονική στιγμή t0; | H επιτάχυνση α(t0) ενός κινητού τη χρονική στιγμή t0, ισούται με το ρυθμό μεταβολής της ταχύτητας υ(t) ως προς το χρόνο t, τη χρονική στιγμή t0. Δηλαδή: α(t0) = υ′(t0) = S″(t0). |
| Έστω Κ(x) το κόστος παραγωγής, Ε(x) η είσπραξη και Ρ(x) το κέρδος από την πώληση x μονάδων παραγωγής ενός προϊόντος. Τι ονομάζουμε: 1) οριακό κόστος στο x0; 2) οριακή είσπραξη στο x0; 3) οριακό κέρδος στο x0; | 1) Η παράγωγος K′(x0) που παριστάνει το ρυθμό μεταβολής του κόστους Κ(x) ως προς την ποσότητα x, όταν x=x0, λέγεται οριακό κόστος στο x0. Ανάλογα, ορίζονται και οι έννοιες: 2) οριακή είσπραξη στο x0 = Ε΄(x0) και 3) οριακό κέρδος στο x0 = Ρ΄(x0). |
| Διατυπώστε το Θεώρημα Rolle του διαφορικού λογισμού. | Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [α,β], παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα (α,β) και f(α)=f(β), τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ∈(α,β), τέτοιο ώστε f ′(ξ) = 0. |
| Γεωμετρική ερμηνεία του Θ. Rolle. | |
| Διατυπώστε το θεώρημα μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού (Θ.Μ.Τ.). | |
| Γεωμετρική ερμηνεία του Θ.Μ.Τ. του διαφορικού λογισμού | |
| Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f ′( x) = 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ . | |
| Έστω δυο συναρτήσεις f, g ορισμένες σε ένα διάστημα Δ. Αν οι f, g είναι συνεχείς στο Δ και f ′(x) = g′(x) για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, να αποδείξετε ότι υπάρχει σταθερά c, τέτοια ώστε, για κάθε x∈∆ να ισχύει f(x) = g(x) + c. | Η συνάρτηση f–g είναι συνεχής στο Δ και για κάθε εσωτερικό σημείο x∈∆ ισχύει: (f-g)′(x)=f′(x)-g′(x)=0. Επομένως, η συνάρτηση f-g είναι σταθερή στο Δ. Άρα, υπάρχει σταθερά c, τέτοια ώστε, για κάθε x∈∆ να ισχύει: f(x)-g(x)=c, οπότε f(x)=g(x)+c |
| Η πρόταση: "Εάν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στα διαστήματα Δ1 και Δ2 και f ′( x) = 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x της ένωσης Δ1UΔ2, τότε η f είναι σταθερή στην ένωση Δ1UΔ2" είναι αληθής ή ψευδής; Δικαιολογήστε την επιλογή σας. | |
| Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Να αποδείξετε ότι: ● Αν f ′(x)>0 σε κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ. ● Αν f ′(x)<0 σε κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το Δ. | |
| Η πρόταση «αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα (αντιστοίχως γνησίως φθίνουσα) στο Δ, τότε η παράγωγός της είναι θετική (αντιστοίχως αρνητική) στο εσωτερικό του Δ» είναι αληθής ή ψευδής; Δικαιολογήστε την επιλογή σας. | |
| Πότε θα λέμε ότι μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού Α, παρουσιάζει στο x0∈A τοπικό μέγιστο; | Μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού Α, θα λέμε ότι παρουσιάζει στο x0∈A τοπικό μέγιστο, όταν υπάρχει δ>0, τέτοιο ώστε f(x)≤f(x0) για κάθε x∈A∩(x0-δ,x0+δ). Το x0 λέγεται θέση ή σημείο τοπικού μεγίστου, ενώ το f(x0) λέγεται τοπικό μέγιστο της συνάρτησης f. |
| Πότε θα λέμε ότι μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού Α, παρουσιάζει στο x0∈A τοπικό ελάχιστο; | |
| Η πρόταση «αν η συνάρτηση f έχει τοπικά ακρότατα, τότε θα έχει και ολικά ακρότατα» είναι αληθής ή ψευδής; Δικαιολογήστε την επιλογή σας | |
| Ένα τοπικό μέγιστο είναι πάντα μεγαλύτερο από ένα τοπικό ελάχιστο. Συμφωνείτε ή διαφωνείτε; Δικαιολογήστε την επιλογή σας. | Διαφωνώ. Πχ η συνάρτηση f(x)=3x+2xημx. |
| Αν μια συνάρτηση f παρουσιάζει μέγιστο, τότε αυτό θα είναι το μεγαλύτερο από τα τοπικά μέγιστα, ενώ αν παρουσιάζει ελάχιστο, τότε αυτό θα είναι το μικρότερο από τα τοπικά ελάχιστα. Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ); | Σωστό (Σ) |
| Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σ’ ένα διάστημα Δ και x0 ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x0 και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, να αποδείξετε ότι f ′(x0) = 0. | |
| Τι ονομάζουμε κρίσιμα σημεία μιας συνάρτησης f; | Κρίσιμα σημεία μιας συνάρτησης f στο διάστημα Δ, λέγονται τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η f δεν παραγωγίζεται ή η παράγωγός της είναι ίση με το μηδέν. |
| Ποιες είναι οι πιθανές θέσεις τοπικών ακροτάτων μιας συνάρτησης f σ’ ένα διάστημα Δ; | 1. Τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η παράγωγος της f μηδενίζεται. 2. Τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η f δεν παραγωγίζεται. 3. Τα άκρα του Δ (αν ανήκουν στο πεδίο ορισμού της). |
| Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x0, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. i) Αν f ′(x)>0 στο (α,x0) και f ′(x)<0 στο (x0,β), τότε το f(x0) είναι τοπικό μέγιστο της f. ii) Αν f ′(x)<0 στο (α,x0) και f ′(x)>0 στο (x0,β), τότε το f(x0) είναι τοπικό ελάχιστο της f. | |
| Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x0, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. iii) Aν η f ′(x) διατηρεί πρόσημο στο (α,x0)U(x0,β), τότε το f(x0) δεν είναι το-πικό ακρότατο και η f είναι γνησίως μονότονη στο (α,β). | |
| Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σ’ ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. Πότε η συνάρτηση f θα λέμε ότι στρέφει τα κοίλα προς τα άνω (κάτω) ή είναι κυρτή (κοίλη) στο διάστημα Δ; | ● Η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα άνω ή είναι κυρτή στο Δ, αν η f ′ είναι γνησίως αύξουσα στο εσωτερικό του Δ. ● Η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω ή είναι κοίλη στο Δ, αν η f ′ είναι γνησίως φθίνουσα στο εσωτερικό του Δ. |
| Σχέση κυρτότητας, με γραφική παράσταση Cf και εφαπτομένης της. | Αν μια συνάρτηση f είναι κυρτή (αντιστοίχως κοίλη) σ’ ένα διάστημα Δ, τότε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f σε κάθε σημείο του Δ, βρίσκεται “κάτω” (αντιστοίχως “πάνω”) από τη γραφική της παράσταση, με εξαίρεση το σημείο επαφής τους. |
| Κριτήριο δεύτερης παραγώγου για την κυρτότητα. | Έστω μια συνάρτηση f συνεχής σ’ ένα διάστημα Δ και δυο φορές παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. ● Αν f ″(x)>0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε η f είναι κυρτή στο Δ . ● Αν f ″(x)<0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε η f είναι κοίλη στο Δ . |
| Η πρόταση «Αν μια συνάρτηση είναι κυρτή (κοίλη) και δυο φορές παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ, τότε f ″(x)>0 (f ″(x)<0) για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ" είναι ψευδής ή αληθής; Δικαιολογήστε την επιλογή σας. | |
| Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x0. Πότε το σημείο Α(x0,f(x0)) ονομάζεται σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f; | Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x0. Αν ● η f είναι κυρτή στο (α,x0) και κοίλη στο (x0,β), ή αντιστρόφως, και ● η Cf έχει εφαπτομένη στο σημείο Α(x0,f(x0)), τότε το σημείο Α(x0,f(x0)) ονομάζεται σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f. |
| Τι γνωρίζετε για την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης Cf της συνάρτησης f, στο σημείο καμπής; | Στα σημεία καμπής, η εφαπτομένη της Cf, “διαπερνά” την καμπύλη. |
| Παραγωγισιμότητα της f ΄ και σημείο καμπής. | Αν το σημείο Α(x0,f(x0)) είναι σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f και η συνάρτηση f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο x0, τότε: f ″x0)=0 |
| H πρόταση «Αν f ″(x0)=0, τότε το σημείο Α(x0,f(x0)) είναι σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f» είναι αληθής ή ψευδής; Δικαιολογήστε την επιλογή σας. | |
| Κριτήριο σημείου καμπής με δεύτερη παράγωγο. | Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σ’ ένα διάστημα (α,β) και x0∈(α,β). Αν ● η f ″ αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του x0 και ● ορίζεται εφαπτομένη της Cf στο Α(x0,f(x0)), τότε το σημείο Α(x0,f(x0)) είναι σημείο καμπής. |
| Πότε η ευθεία x=x0 λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f; | |
| Πότε η ευθεία y=ℓ λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο +∞ (αντιστοίχως στο −∞ ). | |
| Πότε η ευθεία y=λx+β λέγεται πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο +∞ (αντιστοίχως στο −∞ ). |
Want to create your own Flashcards for free with GoConqr? Learn more.