Flashcards

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1

AGGELOS PAPANIKOLAOU English 33 cards

Cards in this deck (33)

1Τι ονομάζεται συνάρτηση θέσης ενός κινητού.H συνάρτηση S(t) που καθορίζει τη θέση ενός κινητού σε συνάρτηση με το χρόνο t, ονομάζεται συνάρτηση θέσης του κινητού.
2Τι ονομάζουμε μέση ταχύτητα ενός κινητού στο χρονικό διάστημα t-t0 ;
3Τι ονομάζουμε στιγμιαία ταχύτητα ενός κινητού τη χρονική στιγμή t0 ;
4«Εφαπτομένη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης σε ένα σημείο της Α ονομάζουμε την ευθεία η οποία τέμνει τη γραφική παράσταση σε ένα μόνο σημείο». Συμφωνείτε ή διαφωνείτε; Δικαιολογήστε την επιλογή σας.
5Τι ονομάζουμε εφαπτόμενη της γραφικής παράστασης Cf μιας συνάρτησης f σε ένα σημείο της Α(x0,f(x0)) ;
6Τι ονομάζουμε παράγωγο μιας συνάρτησης f στο σημείο x0 του πεδίου ορισμού της ;
7Γεωμετρική ερμηνεία της παραγώγου.
8Να γράψετε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f, στο σημείο της Α(x0,f(x0)).
9Άλλοι τύποι για την παράγωγο:
10Ποια είναι η σχέση της στιγμιαίας ταχύτητας ενός κινητού, τη χρονική στιγμή t0, με τη συνάρτηση θέσης x=S(t) τη χρονική στιγμή t0 ;Η στιγμιαία ταχύτητα ενός κινητού, τη χρονική στιγμή t0, είναι η παράγωγος της συνάρτησης θέσης x=S(t) τη χρονική στιγμή t0.
Δηλαδή είναι υ(t0) =S′(t0).
11Να αποδείξετε ότι αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ’ ένα σημείο x0, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό.
12Διατυπώστε την υπόθεση της αντιθετοαντιστροφής στην πρόταση: "παράγωγος και συνέχεια".Εάν μια συνάρτηση δεν είναι συνεχής στο x0, τότε δεν είναι παραγωγίσιμη στο x0.
13Η πρόταση "Εάν μια συνάρτηση είναι συνεχής σ’ ένα σημείο x0, τότε είναι παραγωγίσιμη σ’ αυτό", είναι αληθής ή ψευδής; Διαλέξτε τη σωστή απάντηση και δικαιολογήστε την.
14Πότε μια συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιμη σε ένα σύνολο Α;Μια συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιμη στο Α, όταν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο x0∈A.
15Πότε μια συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιμη σε ένα ανοικτό διάστημα (α,β);Μια συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιμη στο (α,β), όταν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο x0∈(α,β).
16Πότε μια συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β];
17Έστω f μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α και Α1 το σύνολο των σημείων του Α στα οποία αυτή είναι παραγωγίσιμη. Τι ονομά-ζουμε συνάρτηση πρώτης παραγώγου της συνάρτησης f στο σύνολο Α1;Έστω f μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α και Α1 το σύνολο των σημείων του Α στα οποία αυτή είναι παραγωγίσιμη. Αντιστοιχίζοντας κάθε x∈A1 στο f ′(x), ορίζουμε μια συνάρτηση η οποία ονομάζεται πρώτη παράγωγος της f ή απλά παράγωγος της f στο Α1.
18Να δείξετε ότι: ( c )΄=0.
19Να δείξετε ότι: ( x )΄=1.
20—
21—
22Να γράψετε τις παραγώγους των συναρτήσεων f(x)=ημx, f(x)=συνx, f(x)=exp(x) και f(x)=lnx, x>0.
23Να αποδείξετε ότι αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο x0, τότε και η συνάρτηση f+g είναι παραγωγίσιμη στο x0 και ισχύει: (f+g)′(x0)=f ′(x0) + g′(x0).
24Να γράψετε τον κανόνα της παραγώγου του πολλαπλασιασμού δυο συναρτήσεων.(f(x)g(x))΄= f΄(x)g(x)+f(x)g΄(x)
25Να γράψετε τον κανόνα της παραγώγου του πολλαπλασιασμού τριών συναρτήσεων.(f(x)g(x)h(x))΄=
=f΄(x)g(x)h(x)+f(x)g΄(x)h(x)+f(x)g(x)h΄(x)
26Να αποδείξετε τον κανόνα της παραγώγου του πολλαπλασιασμού τριών συναρτήσεων.(f(x)g(x)h(x))΄=
=(f(x)g(x))΄h(x)+f(x)g(x)h΄(x)=
=(f΄(x)g(x)+f(x)g΄(x))h(x)+f(x)g(x)h΄(x)=
=f΄(x)g(x)h(x)+f(x)g΄(x)h(x)+f(x)g(x)h΄(x)
27Να γράψετε τον κανόνα της παραγώγου του πηλίκου δυο συναρτήσεων.
28—
29—
30Να γράψετε την παράγωγο σύνθετης συνάρτησης.(fοg)′(x)=f ′(g(x))∙g′(x).
31—
32—
33—