Trazado de curvas

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Description

Cálculo diferencial, creado por fedom9 el 16/06/2015.

Resource summary

Question Answer
Teorema *el recíproco es falso* Si ƒ es derivable en a y tiene un máximo o mínimo local en x=a, entonces ƒ'(a)=0
Corolario (parte 1) Sea ƒ una función definida en (a,b) 1. si ƒ'(x)>0, para todo x ϵ (a,b), entonces ƒ es creciente en (a,b)
Corolario (parte 2) Sea ƒ una función definida en (a,b) 2. si ƒ'(x)<0, para todo x ϵ (a,b), entonces ƒ es decreciente en (a,b)
Teorema (Criterio de la primera derivada para extremos locales) Sea ƒ una función continua en un intervalo abierto I que contiene a c, y derivable en I, excepto quizá en x=c
Teorema (Criterio de la primera derivada para extremos locales) -parte 1- 1. Si ƒ'(x)<0, para x<c, y ƒ'(x)>0, para x>c, entonces ƒ tiene un mínimo local en x=c
Teorema (Criterio de la primera derivada para extremos locales) -parte 2- 1. Si ƒ'(x)>0, para x<c, y ƒ'(x)<0, para x>c, entonces ƒ tiene un máximo local en x=c
Teorema (concavidad) Sea ƒ una función dos veces derivable en (a,b) 1. Si ƒ''(x)>0, para todo x en (a,b), entonces ƒ es cóncava hacia arriba en (a,b) 2. Si ƒ''(x)<0, para todo x en (a,b), entonces ƒ es cóncava hacia abajo en (a,b)
Definición (parte 1) Sea ƒ una función definida en un intervalo (a,b) 1. Decimos que ƒ es cóncava hacia arriba en (a,b), si ƒ' es una función creciente en (a,b)
Definición (parte 2) Sea ƒ una función definida en un intervalo (a,b) 1. Decimos que ƒ es cóncava hacia abajo en (a,b), si ƒ' es una función decreciente en (a,b)
Teorema Sea ƒ una función dos veces derivable en (a,b) 1. Si ƒ''(x)>0, para todo x en (a,b), entonces ƒ es cóncava hacia arriba en (a,b). 2. Si ƒ''(x)<0, para todo x en (a,b), entonces ƒ es cóncava hacia abajo en (a,b).
Definición (punto de inflexión) Sean ƒ una función continua en (a,b) y c ϵ (a,b). Decimos que ƒ tiene un punto de inflexión en x=c si la concavidad de la gráfica de ƒ cambia en este punto, es decir ƒ es cóncava hacia arriba en (a,c) y cóncava hacia abajo en (c,b) o al contrario.
Teorema Si ƒ es dos veces derivable en (a,b) y ƒ'' cambia de signo en c ϵ (a,b), entonces ƒ tiene un punto de inflexión en x=c
Teorema *el recíproco es falso* Si ƒ tiene un punto de inflexión en x=c y ƒ''(c) existe, entonces ƒ''(c)=0
Teorema (Criterio de la segunda derivada para extremos locales) Sea ƒ una función dos veces derivable en un intervalo que contiene a x=a y supongamos que ƒ'(a)=0 1. Si ƒ''(a)>0, entonces ƒ tiene un mínimo local en a. 2. Si ƒ''(a)<0, entonces ƒ tiene un máximo local en a.
Hecho El signo de la segunda derivada nos habla de la concavidad, así si ƒ''(a)>0, entonces ƒ es cóncava hacia arriba en un intervalo alrededor de x=a, y, por tanto, en x=a debe haber un mínimo local.
Teorema Sea ƒ una función tal que ƒ''(a) existe. 1. Si ƒ tiene un mínimo local en a, entonces ƒ''(a)>=0 2. Si ƒ tiene un máximo local en a, entonces ƒ''(a)<=0
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