Flashcards
Equivalências Lógicas
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- 1Equivalências lógicasDuas proposições A e B são equivalentes quando todos os valores lógicos (V ou F) assumidos por elas são
iguais para todas as combinações de valores lógicos atribuídos às proposições simples que as compõem. - 2Equivalência contrapositivap→q ≡ ~q→~p
- 3Transformação da condicional (se...então) em disjunção inclusiva (ou)p→q ≡ ~p∨q
- 4Transformação disjunção inclusiva (ou) em condicional (se...então)p∨q ≡ ~p→q
- 5Negações lógicas Dupla negação da proposição simples~(~p) ≡ p
- 6Negação da conjunção e da disjunção inclusiva (Leis de De Morgan)Para negar "e": negar ambas as proposições e trocar o "e" pelo "ou".
~(p∧q) ≡ ~p∨~q
Para negar "ou": negar ambas as proposições e trocar o "ou" pelo "e".
~(p∨q) ≡ ~p∧~q - 7Negação da condicional (se...então)~(p→q) ≡ p∧~q
- 8Equivalência contrapositivaA primeira equivalência fundamental é conhecida como contrapositiva da condicional:
p→q ≡ ~q→~p - 9Exemplos de equivalência contrapositivaConsidere a seguinte condicional p→q:
p→q: "Se [hoje choveu], então [João fez a barba]."
A condicional a seguir é equivalente à condicional original:
~q→~p: "Se [João não fez a barba], então [hoje não choveu]." - 10Transformação da condicional (se...então) em disjunção inclusiva (ou)A segunda equivalência fundamental é a transformação da condicional (se...então; →) em disjunção
inclusiva (ou; ∨):
p→q ≡ ~p∨q - 11Transformação da condicional (se...então) em disjunção inclusiva (ou)A equivalência é realizada do seguinte modo:
1. Nega-se o primeiro termo;
2. Troca-se a condicional (se...então; →) pela disjunção inclusiva (ou; ∨); e
3. Mantém-se o segundo termo. - 12Transformação disjunção inclusiva (ou) em condicional (se...então)A terceira equivalência fundamental para sua prova é a transformação da disjunção inclusiva (ou; ∨) em
condicional (se...então; →):
p∨q ≡ ~p→q - 13Negações LógicasAo se construir negação de uma proposição, constrói-se uma nova proposição com valores lógicos sempre
opostos aos da proposição original. Para o exemplo apresentado, ~p∨~q sempre terá o valor contrário da
proposição p∧q para todas as linhas da tabela-verdade, conforme pode ser observado a seguir: - 14Dupla negação da proposição simplesUm resultado importante que pode ser obtido da tabela verdade é que a negação da negação de p sempre
tem valor lógico igual a proposição p, ou seja, é equivalente a p.
~(~p) ≡ p - 15Negação da conjunção e da disjunção inclusiva (Leis de De Morgan)Negação da conjunção (e; ∧)
Para realizar a negação conjunção p∧q, deve-se seguir o seguinte procedimento:
1. Negam-se ambas as parcelas da conjunção (e; ∧); e
2. Troca-se a conjunção (e; ∧) pela disjunção inclusiva (ou; ∨).
~(p∧q) ≡ ~p∨~q - 16Negação da condicional (se...então)1. Mantém-se o primeiro termo;
2. Troca-se a condicional (se...então; →) pela conjunção (e; ∧); e
3. Nega-se o segundo termo.
A negação de p→q é realizada por meio da seguinte equivalência:
~(p→q) ≡ p∧~q - 17Negações da conjunção (e) para a forma condicional (se...então)Existem duas maneiras de se negar a conjunção de modo que ela adquira a forma condicional:
~(p∧q) ≡ p→~q
~(p∧q) ≡ q→~p - 18Conjunção de condicionais(p→r)∧(q→r) ≡ (p∨q)→r
(p→q)∧(p→r) ≡ p→(q∧r) - 19Equivalências da disjunção exclusiva (ou...ou)Uma forma equivalente de se escrever a disjunção exclusiva (ou...ou; ∨) consiste em negar ambos os
termos:
p∨q ≡ (~p)∨(~q)
Como exemplo, considere a disjunção exclusiva:
p∨q: "Ou [jogo bola], ou [jogo sinuca]."
Essa disjunção exclusiva é equivalente a:
(~p)∨(~q): "Ou [não jogo bola], ou [não jogo sinuca]." - 20Outras equivalências da disjunção de exclusivaOutras duas possibilidades de se obter equivalências da disjunção exclusiva consiste em transformá-la em uma bicondicional (se e somente se; ) negando-se apenas um dos termos:
p∨q ≡ (~p) <-> q
p∨q ≡ p <-> (~q) - 21Negação da disjunção exclusiva (ou...ou)A principal negação da disjunção exclusiva é a bicondicional:
~(p∨q) ≡ p <-> q
Como exemplo, considere a seguinte disjunção exclusiva:
p∨q: "Ou [jogo bola], ou [jogo sinuca]."
A negação dessa disjunção exclusiva pode ser escrita da seguinte forma:
~(p∨q) ≡ p <-> q: "[Jogo bola] se e somente se [jogo sinuca]." - 22Equivalências da bicondicional (se e somente se)Inicialmente, é importante que você saiba que a bicondicional apresenta a seguinte equivalência:
pq ≡ (p→q)∧(q→p)
Considere, por exemplo, a seguinte bicondicional pq:
pq: "[Durmo] se e somente se [estou cansado]"
Essa bicondicional é equivalente a (p→q)∧(q→p):
(p→q)∧(q→p): "[Se (estou cansado), então (durmo)] e [se (durmo), então (estou cansado)]" - 23Equivalência da bicondicionalOutra forma equivalente de se escrever a bicondicional consiste em negar ambos os termos:
pq ≡ (~p)(~q)
Considere novamente a seguinte bicondicional pq:
pq: "[Durmo] se e somente se [estou cansado]"
Essa bicondicional é equivalente a (~p)(~q):
(~p)(~q): "[Não durmo] se e somente se [não estou cansado]." - 24Equivalência da bicondicionalAlém disso, outras duas possibilidades de se obter uma equivalência da bicondicional consiste em
transformá-la em uma disjunção exclusiva (ou...ou; ∨) negando-se apenas um dos termos:
pq ≡ (~p)∨q
pq ≡ p∨(~q)
Para fins de exemplo, considere novamente a seguinte bicondicional:
pq: "[Durmo] se e somente se [estou cansado]"
Essa bicondicional também é equivalente às seguintes proposições:
(~p)∨q: "Ou [não durmo], ou [estou cansado]."
p∨(~q): " Ou [durmo], ou [não estou cansado]." - 25Negações da bicondicional (se e somente se)São quatro as maneiras mais comuns de se negar a bicondicional. A primeira que vamos apresentar é que a
negação da bicondicional é equivalente à disjunção exclusiva.
~ (pq) ≡ p∨q
~ (pq) ≡ (~p)q
~ (pq) ≡ p(~q)
~ (pq) ≡ (p∧~q)∨(q∧~p) - 26Propriedade comutativaTodos os conectivos, exceto o condicional (se...então; →), gozam da propriedade comutativa
p∧q ≡ q∧p
p∨q ≡ q∨p
p∨q ≡ q∨p
pq ≡ qp - 27Propriedade associativaNa álgebra elementar, quando realizamos uma multiplicação, é comum ouvirmos a frase "a ordem dos
fatores não altera o produto". Essa frase resume a propriedade associativa para a multiplicação.
Vamos supor que queremos realizar a multiplicação 3×5×7. Ela pode ser feita de duas formas:
• Multiplicamos 3×5 e depois multiplicamos esse resultado por 7, obtendo (3×5)×7; ou
• Multiplicamos 3 pelo resultado da multiplicação de 5×7, obtendo 3×(5×7). - 28Propriedade associativaNa álgebra de proposições temos algo muito semelhante. Dizemos que a conjunção (e; ∧) e a disjunção
inclusiva (ou; ∨) gozam da propriedade associativa, sendo válidas as equivalências:
(p∧q)∧r ≡ p∧(q∧r)
(p∨q)∨r ≡ p∨(q∨r) - 29Propriedade distributiva da disjunção inclusiva com relação à conjunçãoNa álgebra elementar, a propriedade distributiva da multiplicação com relação à adição consiste em realizar
a seguinte operação:
3×(5 + 7) = 3 × 5 + 3 × 7
Da mesma forma, podemos partir do lado direito da equação acima chegar ao lado esquerdo "colocando o
número 3 em evidência":
3 × 5 + 3 × 7 = 3 × (5 + 7)
Na álgebra de proposições temos as seguintes propriedades distributivas:
• Da conjunção (e; ∧) com relação à disjunção inclusiva (ou; ∨); e
• Da disjunção inclusiva (ou; ∨) com relação à conjunção (e; ∧); - 30Propriedade distributiva da conjunção com relação à disjunção inclusivap∧(q∨r) ≡ (p∧q) ∨ (p∧r)
(p∧q)∨(p∧r) ≡ p∧(q∨r) - 31Propriedade da identidade para a conjunçãoSendo t uma tautologia e c uma contradição, temos as seguintes equivalências:
p∧t ≡ p
p∧c ≡ c - 32Propriedade da identidade para a disjunção inclusivaSendo t uma tautologia e c uma contradição, temos as seguintes equivalências:
p∨t ≡ t
p∨c ≡ p - 33—
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- Concursos Públicos Raciocínio Lógico Flashcards on Equivalências Lógicas, created by Carol Soares on 05/09/2024.
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- Carol Soares
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