Flashcards
Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ (Ερωτήσεις Θεωρίας)
Cards in this deck (43)
- 1Τι λέμε συνάρτηση \( f \) με πεδίο ορισμού το σύνολο \( A \) ;Έστω Α ένα υποσύνολο του
Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μία διαδικασία (κανόνα) f, με την οποία κάθε στοιχείο \( x \in A \) αντιστοιχίζεται σε ένα μόνο πραγματικό αριθμό y. Το y ονομάζεται τιμή της f στο x και συμβολίζεται με f(x) . - 2Τι λέμε σύνολο τιμών μιας συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το σύνολο A ;Σύνολο τιμών της \( f \) λέμε το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της f σε όλα τα \( x \in A \) . Είναι δηλαδή
\[ f(A) = \{ y | y = f(x) \ για \ κάποιο \ x \in A \} \]
Το σύνολο τιμών της f στο A συμβολίζεται με f( A ) . - 3Τι εννοούμε όταν λέμε ότι « Η συνάρτηση f είναι ορισμένη σ’ ένα σύνολο Β»;Εννοούμε ότι το σύνολο Β είναι υποσύνολο του πεδίου ορισμού της και το σύνολο τιμών της f(B) είναι
\[ f(B) = \{ y | y = f(x) \ για \ κάποιο \ x \in B \} \] - 4Τι λέμε γραφική παράσταση μιας συνάρτησης \( f \) με πεδίο ορισμού το σύνολο A ;Α4
- 5Να χαράξετε την γραφική παράσταση της βασικής συνάρτησης f ( x) = αx + βΑ5α
- 6Να χαράξετε την γραφική παράσταση της βασικής συνάρτησης \[ f ( x ) = α x^{2} \; , \; α \neq 0 \]A5β
- 7Να χαράξετε την γραφική παράσταση της βασικής συνάρτησης \[ f ( x ) = α x^{3} \; , \; α \neq 0 \]A5γ
- 8Να χαράξετε την γραφική παράσταση της βασικής συνάρτησης \[ f ( x ) = \dfrac{α}{x} \; , \; α \neq 0 \]A5δ
- 9Να χαράξετε την γραφική παράσταση της βασικής συνάρτησης \[ f ( x ) = \sqrt{x} \]Α5ε
- 10......
- 11Πότε δύο συναρτήσεις f,g λέγονται ίσες ;Δύο συναρτήσεις f και g λέγονται ίσες όταν
έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α και
για κάθε \( x \in A \) ισχύει f(x) = g(x) .
Για να δηλώσουμε ότι δύο συναρτήσεις f και g είναι ίσες γράφουμε f=g . - 12Πώς ορίζονται οι πράξεις της πρόσθεσης , αφαίρεσης , γινομένου και πηλίκου δύο συναρτήσεων f,g ;A8
- 13Τι λέμε σύνθεση της συνάρτησης f με τη συνάρτηση g ;A9
- 14Πότε μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα και πότε γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ ;A10
- 15Πότε μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού A λέμε ότι παρουσιάζει στο \( x_{0} \in A \) ολικό μέγιστο και πότε ολικό ελάχιστο ;A11
- 16Πότε μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού A λέγεται 1-1 ;A12
- 17Πότε μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού A αντιστρέφεται και πώς ;A13
- 18Ποια πρόταση συνδέει το όριο της f στο \( x_{0} \) και τα πλευρικά όρια της f στο \( x_{0} \) ;B1
- 19Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f έχει κοντά στο \( x_{0} \) μια ιδιότητα Ρ ;B2
- 20Να γράψετε τις ιδιότητες των ορίων στο \( x_{0} \) .B3
- 21Δίνεται πολυώνυμο \( P(x) = α_{ν} x^{ν} + α_{ν-1} x^{ν-1} + \cdots + α_{1} x + α_{0} \) και \( x_{0} \in \mathbb{R} \) . Να αποδείξετε ότι \[ \lim_{x \rightarrow x_{0} } P(x) = P(x_{0}) \]B4
- 22Έστω η ρητή συνάρτηση \( f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)} \), όπου P(x) , Q(x) πολυώνυμα του x και \( x_{0} \in \mathbb{R} \) με \( Q(x_{0}) \neq 0 \). Να αποδείξετε ότι \[ \lim_{x \rightarrow x_{0} } \dfrac{P(x)}{Q(x)} = \dfrac{P(x_{0})}{Q(x_{0})} \]B5
- 23Πώς υπολογίζουμε το όριο της σύνθετης συνάρτησης \( f \circ g \) στο \( x_{0} \) ;B6
- 24Να γράψετε τις ιδιότητες του άπειρου ορίου στο \( x_{0} \).B7
- 25Να γράψετε τις ιδιότητες για το όριο στο άπειρο.B8
- 26Πότε μια συνάρτηση f λέγεται συνεχής στο σημείο \( x_{0} \) του πεδίου ορισμού της;Γ1
- 27Να διατυπώσετε πρόταση που αφορά τη συνέχεια και τις πράξεις συναρτήσεων.Γ2
- 28Να διατυπώσετε πρόταση που αφορά τη συνέχεια σύνθετης συνάρτησης.Γ3
- 29Πότε μια συνάρτηση f λέγεται συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα (α, β) και πότε στο κλειστό διάστημα [α, β] ;Γ4
- 30Να διατυπώσετε το θεώρημα Bolzano και να δώσετε τη γεωμετρική του ερμηνεία.Γ5
- 31Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών.Γ6
- 32Να διατυπώσετε το θεώρημα μέγιστης – ελάχιστης τιμής.Γ7
- 33Πότε μια συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιμη στο σημείο \( x_{0} \) του πεδίου ορισμού της;Δ1
- 34Τι ορίζουμε ως εφαπτομένη της \( C_{f} \) στο σημείο της \( A(x_{0} , f(x_{0})) \);Δ2
- 35Να αποδείξετε ότι αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ’ ένα σημείο \( x_{0} \), τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό.Δ3
- 36Πότε μια συνάρτηση f λέγεται: α) Παραγωγίσιμη στο σύνολο Α β) Παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα ( α ,β) γ) Παραγωγίσιμη στο κλειστό διάστημα [α ,β]Δ4
- 37Τι ονομάζουμε πρώτη, δεύτερη και γενικά νιοστή παράγωγο μίας συνάρτησης f;Δ5
- 38Να αποδείξετε ότι : Αν f(x) = c , με \( c \in \mathbb{R} \), τότε \[ f'(x) = 0 \]Δ6α
- 39Να αποδείξετε ότι : Αν f(x) = x τότε \[ f'(x) = 1 \]Δ6β
- 40Να αποδείξετε ότι : Αν \( f(x) = x^{v} \), με \( ν \in \mathbb{N} - \{ 0, 1 \} \) τότε \[ f'(x) = v \cdot x^{v-1} \]Δ6γ
- 41Να αποδείξετε ότι : Αν \( f(x) = \sqrt{x} \) με \( x \geq 0 \) τότε \[ f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \; , \; x > 0 \]Δ6δ
- 42Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο \( x_{0} \), τότε η συνάρτηση f + g είναι παραγωγίσιμη στο \( x_{0} \) και ισχύει \[ (f+g)' (x_{0}) = f'(x_{0}) + g'(x_{0}) \]Δ7
- 43Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο \( x_{0} \), τότε η συνάρτηση \( f \cdot g \) είναι παραγωγίσιμη στο \( x_{0} \) και ισχύει \[ (f \cdot g)' (x_{0}) = f'(x_{0}) \cdot g(x_{0})+ f(x_{0}) \cdot g'(x_{0}) \]Δ8
Information
- Description
- Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ (Ερωτήσεις Θεωρίας)
- Created by
- Πέτρος Χέρας
- Views
- 17
- Tags
- Rating