Mapa conceptual. Lógica

LÓGICA

Preposición

Es la disciplina filosófica que tiene un carácter formal, ya que estudia la estructura o formas de pensamiento (tales como conceptos, proposiciones, razonamientos) con el objeto de establecer razonamientos o argumentos válidos o correctamente lógicos

¿Qué es?

Es toda afirmación u oración declarativa que expresa algo sobre lo que se pueda decir si es verdadero o falso.

Proposiciones simples o atómicas

Proposiciones compuestas o fórmulas

No pueden reducirse a otras más sencillas. Símbolos primitivos:

Σ = {T,⊥, p,q,r,s... }

Enunciados bien formados a partir de símbolos primitivos unidos mediante conectivas. LΣ = {P,Q,R,S,K}

Regla de formación de fórmulas

Para abreviar se siguen las siguientes directrices: Omisión de paréntesis externos

Prioridad entre conectivas: ¬, ∧, ∨, ∨, →, ↔

Asociatividad de la implicación: →asocia a la derecha

Negación: ¬. Ejemplo: ¬p (No es de día)

Conjunción: ∧. Ejemplo: p∧q (Es de día y está lloviendo)

Disyunción: ∨. Ejemplo: p∨q (Es de día o está lloviendo)

Condición al material: →. Ejemplo: p→q (Si es de día, entonces está lloviendo)

Bicondición: ↔. Ejemplo: p↔q (Es de día si y sólo si está lloviendo)

Negación conjunta: ↓. Ejemplo: p ↓q ( Ni es de día ni está lloviendo)

Disyunción exclusiva: ∨. Ejemplo:p ∨ q (O bien es de día, o bien está lloviendo)

Falsedad: ⊥

Verdad: T

Tabla de verdad

Es una tabla que muestra el valor de verdad de una proposición compuesta, para cada combinación de verdad que se pueda asignar.

Tautología

Un fórmula P es una contingencia si existen algunas valoraciones que son modelos de P y otras que no lo son.

Un fórmula P es una contradicción si no tiene modelos. (P es contradicción si y sólo si es insatisfactible).

Un fórmula P es una tautología si toda valoración es modelo de ella. (Si P es tautología, entonces es satisfactible).

Contingencia

Contradicción

Conectivos lógicos

Razonamiento lógico

Equivalencias

Las declaraciones p y q son lógicamente equivalentes si tienen el mismo contenido lógico. Este es un concepto semántico, dos afirmaciones son equivalentes si tienen el mismo valor de verdad en todos los modelos. La equivalencia lógica de p y q algunas veces se expresa como p≡q, Epq o p↔q. Sin embargo, estos símbolos también se usan para la equivalencia material; su apropiada interpretación depende del contexto.

Si P∼Q y F(P) es una fórmula que contiene a P como subfórmula, reemplazando una o varias apariciones de P por Q en F(P), se obtiene una fórmula F(Q) que verifica F(P)∼F(Q).

Lo utilizaremos para simplificar fórmulas complejas.

Leyes

- Conmutativa: P∧Q ∼ Q∧P P∨Q ∼ Q∨P

- Distributiva: P∧(Q∨R)∼(P∧Q)∨(P∧R)

P∨(Q∧R)∼(P∨Q)∧(P∨R)

- De identidad: P∧T ∼P P∨⊥ ∼P

- Tercio excluso: P∨ ¬P ∼T

- Contradicción: P∧ ¬P ∼ ⊥

- Idempotencia: P∧P ∼ P P∨P ∼ P

- Acotación: P∧⊥ ∼ ⊥ P∨T ∼T

- Absorción: P∧(P∨Q) ∼ P P∨(P∧Q) ∼ P

- Asociativa: P∧(Q∧R) ∼ (P∧Q)∧R

P∨(Q∨R) ∼ (P∨Q)∨R

- De Morgan: ¬(P∧Q) ∼ ¬P∨ ¬Q

¬(P∨Q) ∼ ¬P∧ ¬Q

- Relación entre conectivas: P→ Q ∼ ¬P∨Q

P↔Q ∼ (P→ Q) ∧ (Q→P)

Teorema de reemplazamiento

Razonamiento inductivo

Se generaliza una situación, a partir de un número relativamente pequeño de hechos particulares u observaciones.

Razonamiento deductivo

Consiste en obtener una conclusión a partir de ciertas sentencias ciertas.

Reglas de inferencia

- Modus ponens:{P→Q,P}⎥= Q

- Modus tolens:{P→Q, ¬Q}⎥= ¬P

- Silogismo: {P→Q,Q→R}⎥= P→R

- Silogismo disyuntivo: {P∨Q, ¬Q}⎥= P

- Simplificación: {P∧Q}⎥= P

{P}⎥= P∨Q

{P,Q}⎥= P∧Q

- Regla de la cadena: si {Pi}⎥= Q1 y {Pi ,Q1}⎥= Q son válidas, también lo es {Pi}⎥= Q

Cálculo de predicados

Introduce los elementos necesarios para manejar razonamientos en los que intervienen propiedades de individuos y relacione entre ellos. Estas relaciones son los predicados que pueden ser verdaderos o falsos en función de sus argumentos

Alfabeto 1

- Símbolos de constante: C={c, t, ...}∈AΣ

- Símbolos de predicado: P={P, Q, ...}∈AΣ.

de aridad 1: propiedad de un individuo.

de aridad 2: relación entre individuos.

Alfabeto 2

- constantes lógicas: {⊥ ,Τ}∈AΣ

- conectivas: {¬, ∧ ,∨ , →, ↔}∈AΣ

- cuantificadores: {∀, ∃}∈AΣ.

- símbolos auxiliares: {'(', ')'}∈AΣ

Alfabeto 3

• variables: V={x, y, z, ...}∈A

- Representan individuos anónimos, generales.

- Una variable está ligada si está en el radio de acción de algún cuantificador, Kx F[x], y está libre en otro caso.

- Una fórmula está abierta si tiene variables libres. Si no tiene variables libres está cerrada.

Fórmulas

Palabra formada a partir del alfabeto aplicando las reglas:

Términos

T=C∪V∈AΣ

Satisfactibilidad

Una fórmula F es satisfactible, si existe alguna interpretación I en la que el valor veritativo de F sea 1. Se dice que I es un modelo de F (I⎥= F).

En caso contrario, se dice que F es insatisfactible.

Equivalencia lógica

Cuando los valores veritativos de dos fórmulas F1 y F2 son iguales en cualquier interpretación, se dice que F1 y F2 son lógicamente equivalentes y se denota F1∼F2

Leyes

- ∀x F[x] ∼ ∀y F[y]

- ∃x F[x] ∼ ∃y F[y]

- ¬∀x F[x] ∼ ∃x ¬F[x]

- ¬ ∃ x F[x] ∼ ∀x ¬F[x]

- ∀x F[x] ∧ ∀x G[x] ∼ ∀x [F[x] ∧ G[x]]

- ∃ x F[x] ∨ ∃ x G[x] ∼ ∃ x [F[x] ∨ G[x]]

Las de la lógica de proposiciones si no interfieren los cuantificadores

Valores veritativos

π(T)=1

π(⊥)=0

π(¬F)=f¬(F)

π(F1#F2)= f# (π(F1), π(F2)) #∈{∧ ,∨ , →, ↔}

π(P(t1,...,tn))= P(t1,..., tn)

π(∃x F)=1 si ∃ c∈D / π(F[x/c])=1

π(∀x F)=1 si ∀ c∈D / π(F[x/c])=1

Tautología

Un fórmula F es una tautología si cualquier interpretación es modelo de ella.

Contradicción

Un fórmula F es una contradicción si no tiene modelos