MATEMATICA ESTAISTICA

ESTADISTICA DESCRIPTIVA

RANGO

MODA

MEDIANA

MEDIA ARIMETICA

FRECUENCIA RELATIVA ACUMULADA

VARIANZA

DESVIACION STANDAR

COEF VARIACION

MARCA DE CLASE

INTERVALOS

FRECUENCIA ABSOLUTA ACUMULADA

AMPLITUD

La frecuencia absoluta acumulada es el resultado de ir sumando las frecuencias absolutas de las observaciones o valores de una población o muestra. Esta se representa por las siglas Fi.

Para calcular la frecuencia absoluta acumulada, hay que calcular primero la frecuencia absoluta (fi) de la población o muestra.

EJEMPLOS :

Supongamos que la altura de 15 personas que se presentan a las posiciones del cuerpo de policía nacional son las siguientes:

1,82, 1,97, 1,86, 2,01, 2,05, 1,75, 1,84, 1,78, 1,91, 2,03, 1,81, 1,75, 1,77, 1,95, 1,73.

Para elaborar la tabla de frecuencias, los valores se ordenan de menor a mayor, pero en este caso dado que la variable es continua y podría tomar cualquier valor de un espacio continuo infinitesimal, hay que agrupar las variables por intervalos.

Por tanto, tenemos:

Xi = Variable aleatoria estadística (altura de los postulantes al cuerpo de policía nacional).

N = 15

fi = Número de veces que se repite el suceso (en este caso, las alturas que se encuentran dentro de un determinado intervalo).

Fi = Sumatorio del número de veces que se repite el suceso (en este caso, las alturas que se encuentran dentro de un determinado intervalo).

La frecuencia relativa acumulada es el resultado de ir sumando las frecuencias relativas de las observaciones o valores de una población o muestra. Esta se representa por las siglas Hi.

Para calcular la frecuencia relativa acumulada, hay que calcular primero la frecuencia absoluta (fi) y la frecuencia relativa (hi) de los valores de la población o muestra.

EJEMPLOS

Supongamos que la altura de 15 personas que se presentan a las posiciones del cuerpo de policía nacional son las siguientes:

1,82, 1,97, 1,86, 2,01, 2,05, 1,75, 1,84, 1,78, 1,91, 2,03, 1,81, 1,75, 1,77, 1,95, 1,73.

Para elaborar la tabla de frecuencias, los valores se ordenan de menor a mayor, pero en este caso dado que la variable es continua y podría tomar cualquier valor de un espacio continuo infinitesimal, hay que agrupar las variables por intervalos.

Por tanto tenemos:

Xi = Variable aleatoria estadística (altura de los postulantes al cuerpo de policía nacional).

N = 15

fi = Número de veces que se repite el suceso (en este caso, las alturas que se encuentran dentro de un determinado intervalo).

hi = Proporción que representa el valor i-ésimo en la muestra.

Hi = Sumatorio de la proporción que representa el valor i-ésimo en la muestra.

La media aritmética es un tipo de media que otorga la misma ponderación a todos los valores.

Existen muchos tipos de media y la más conocida es la media aritmética. Sin embargo, la idea general se mantiene en todos los tipos de media: queremos saber un valor promedio. Al ser una medida de tendencia central, lo que busca es aportarnos información sobre el centro.

Supongamos que nuestras calificaciones en la escuela son:

EJEMPLOS

Asignatura Nota

Matemáticas7

Educación Física8

Biología5

Economía10

N = número total de asignaturas = 4

Entonces aplicando la fórmula que acabamos de exponer, el resultado sería:

Nuestra nota media será de un 7,5.

La mediana es un estadístico de posición central que parte la distribución en dos, es decir, deja la misma cantidad de valores a un lado que a otro.

Para calcular la mediana es importante que los datos estén ordenados de mayor a menor, o al contrario de menor a mayor. Esto es, que tengan un orden.

Cuando el número de observaciones es par:

Mediana = (n+1) / 2 → Media de las observaciones

Cuando el número de observaciones es impar:

Mediana = (n+1) / 2 → Valor de la observación

Es decir, que si tenemos 50 datos ordenados preferiblemente de menor a mayor, la mediana estaría en la observación número 25,5. Esto es el resultado de aplicar la fórmula para un conjunto de datos par (50 es número par) y dividir entre 2. El resultado es 25,5 ya que dividimos entre 50+1. La mediana será la media entre la observación 25 y la 26.

La moda es el valor dentro del conjunto de datos que más se repite, el que tiene mayor frecuencia.

EJEMPLO

Encuentre la moda del conjunto {2, 3, 5, 5, 7, 9, 9, 9, 10, 12}.

El 2, 3, 7, 10 y 12 aparecen una vez cada uno.

El 5 aparece dos veces y el 9 aparece tres veces.

Así, el 9 es la moda.

El rango es un valor numérico que indica la diferencia entre el valor máximo y el mínimo de una población o muestra estadística.

El rango suele ser utilizado para obtener la dispersión total

FORMULA R = Máxx – Mínx

Supongamos que tenemos una empresa que produce microchips para luego venderlos a las principales marcas de computadoras. Esta empresa encarga a un economista que realice un estudio sobre la evolución de las ventas (últimos 4 años) para, posteriormente, ofrecer consejos que mejoren los resultados empresariales. Entre otras muchas métricas, se pide que se calcule el rango de producción de microchips. A continuación se muestra la siguiente tabla de datos:

Mes 144.347

Mes 212.445

Mes 326.880

Mes 423.366

Mes 542.464

Mes 615.480

Mes 721.562

Mes 811.625

Mes 939.496

Mes 1039.402

Mes 1147.699

Mes 1244.315

Mes 1329.581

Mes 1444.320

Mes 1535.264

Mes 1610.124

Mes 1743.520

Mes 1826.360

Mes 1919.534

Mes 2030.755

Mes 2137.327

Mes 2215.832

Mes 2333.919

Mes 2429.498

Mes 2546.136

Mes 2618.007

Mes 2736.339

Mes 2827.696

Mes 2947.413

Mes 3047.636

Mes 3120.978

Mes 3249.079

Mes 3340.668

Mes 3445.932

Mes 3540.454

Mes 3646.132

Mes 3735.054

Mes 3811.906

Mes 3922.532

Mes 4043.045

Mes 4145.074

Mes 4216.505

Mes 4327.336

Mes 4437.831

Mes 4529.757

Mes 4637.765

Mes 4722.237

Mes 4838.601

MÁXIMO49.079

MÍNIMO10.124

RANGO38.955

El mes que más microchips produjo la empresa (MÁXIMO) fue el mes 32 con 49.079 microchips producidos. Por su parte, el momento que menos microchips produjo tuvo lugar en el mes 16 con 10.124 microchips producidos. Por tanto, el rango estadístico que es la diferencia (49.079-10.124) se sitúa en 38.955.

La varianza es una medida de dispersión que representa la variabilidad de una serie de datos respecto a su media. Formalmente se calcula como la suma de los residuos al cuadrado divididos entre el total de observaciones.

También se puede calcular como la desviación típica al cuadrado. Dicho sea de paso, entendemos como residuo a la diferencia entre el valor de una variable en un momento y el valor medio de toda la variable

La unidad de medida de la varianza será siempre la unidad de medida correspondiente a los datos pero elevada al cuadrado. La varianza siempre es mayor o igual que cero. Al elevarse los residuos al cuadrado es matemáticamente imposible que la varianza salga negativa. Y de esa forma no puede ser menor que cero.

Vamos a acuñar una serie de datos sobre salarios. Tenemos cinco personas, cada uno con un salario diferente:

Juan: 1.500 euros

Pepe: 1.200 euros

José: 1.700 euros

Miguel: 1.300 euros

Mateo: 1.800 euros

La media del salario, la cual necesitamos para nuestro cálculo, es de ((1.500 + 1.200 + 1.700 + 1.300 + 1.800) /5) 1.500 euros.

Dado que la fórmula de la varianza en su forma desglosada se formula como sigue:

Obtendremos que se debe calcular tal que:

El resultado es de 52.000 euros al cuadrado. Es importante recordar que siempre que calculamos la varianza tenemos las unidades de medida al cuadrado. Para pasarlo a euros, en este caso tendríamos que realizar la desviación típica. El resultado aproximado sería de 228 euros. Esto quiere decir que, en media, la diferencia entre los salarios de las distintas personas será de 228 euros.

La desviación estándar o desviación típica es una medida que ofrece información sobre la dispersión media de una variable. La desviación estándar es siempre mayor o igual que cero.​​​​

EJEMPLO

Toma el número sobre el cual desees medir la desviación estándar, así como la media o promedio de todos los números y la cantidad de números que hay. Por ejemplo, si estás mirando la altura de seis hombres y obtienes 178, 183, 170, 179, 175 y 186, y quieres averiguar la desviación estándar, se calcula la media sumando todos los números y dividiendo por el número de resultados reales, que es 1071 / 6, o 178,5 centímetros. Tu número total de calificaciones es de seis. Tu número individual será cada número de la muestra.

2

Encuentra la suma de todos sus resultados individuales, menos la puntuación media, elevando todos al cuadrado. En este ejemplo vamos a hacer (178 - 178,5) al cuadrado, (183 - 178,5) al cuadrado, (170 - 178,5) al cuadrado, (179 - 178,5) al cuadrado, (175 - 178,5) y cuadrado (186 - 178,5) al cuadrado, y luego sumar todos los números. Esto te da 0,25 + 20,25 + 72,25 + 0,25 + 12,25 + 56,25 = 161,5 .

3

Resta 1 al total de la muestra. En este caso, es 6 -1, que es 5.

4

Divide la suma de los números en el paso 2 por el total de la muestra menos uno, que en este caso es 161,5 dividido por 5, así que es 32,3.

5

Toma la raíz cuadrada del número obtenido en el paso 4. En este caso, sería la raíz cuadrada de 32,3, que sale 5,68. Esta es tu desviación estándar.

El coeficiente de variación, también denominado como coeficiente de variación de Pearson, es una medida estadística que nos informa acerca de la dispersión relativa de un conjunto de datos.

Es decir, nos informa al igual que otras medidas de dispersión, de si una variable se mueve mucho, poco, más o menos que otra

Su cálculo se obtiene de dividir la desviación típica entre el valor absoluto de la media del conjunto y por lo general se expresa en porcentaje para su mejor comprensión.

Pensemos en una población de elefantes y otra de ratones. La población de elefantes tiene un peso medio de 5.000 kilogramos y una desviación típica de 400 kilogramos. La población de ratones tiene un peso medio de 15 gramos y una desviación típica de 5 gramos. Si comparáramos la dispersión de ambas poblaciones mediante la desviación típica podríamos pensar que hay mayor dispersión para la población de elefantes que para la de los ratones.

Sin embargo al calcular el coeficiente de variación para ambas poblaciones, nos daríamos cuenta que es justo al contrario.

Elefantes: 400/5000=0,08

Ratones: 5/15=0,33

Si multiplicamos ambos datos por 100, tenemos que el coeficiente de variación para los elefantes es de apenas un 8%, mientras que el de las ratones es de un 33%. Como consecuencia de la diferencia entre las poblaciones y su peso medio, vemos que la población con mayor dispersión, no es la que tiene una mayor desviación típica.

La marca de clase es el punto medio de cada intervalo.

La marca de clase es el valor que representa a todo el intervalo para el cálculo de algunos parámetros como la media aritmética o la desviación típica.

Se representa por ci o xi

Se calcula la marca de clase (Xi), que es el valor medio o promedio de cada intervalo, el cual sirve para facilitar el cálculo de algunas medidas de posición y de dispersión. Una vez escogido el número de intervalos se determina la amplitud de cada clase o intervalo (C). 3.

Puede que te preguntes, ¿Cómo se calcula la marca de clase?

La marca de clase se obtiene al sumar y dividir los valores limites inferior y superior de los intervalos entre dos.

Un intervalo es un conjunto de números reales que se encuentra comprendido entre dos extremos, a y b. También puede llamarse subconjunto de la recta real

Por ejemplo, los números que satisfagan una condición 1 ≤ x ≤ 5 ó [1;5] implican un intervalo que va desde el 1 hasta el 5, incluyendo a ambos.

Para explicar y entender la amplitud estadística, es necesario recurrir al lenguaje matemático donde la amplitud se describe como (AT) y se define como la diferencia entre la puntuación de mayor valor y de menor valor.

FORMULA

At= Xmax –Xmin. La amplitud realmente es sencilla de calcular, siendo a menudo esta misma simpleza un inconveniente en algunas ocasiones.