MONÔMIOS E POLINÔMIOS

MONÔMIOS E POLINÔMIOS

1. Uma função polinomial ou simplesmente polinômio, é toda função definida pela relação P(x)=anxn + an-1.xn-1 + an-2.xn-2 + … + a2x2 + a1x + a0.

   • GRAU DE UM POLINÔMIO:
     • Valor numérico:
       • Grau de um polinômio é o expoente máximo que ele possui. Se o coeficiente an0, então o expoente máximo n é dito grau do polinômio e indicamos gr(P)=n.
       • O valor numérico de um polinômio P(x) para x=a, é o número que se obtém substituindo x por a e efetuando todas as operações indicadas pela relação que define o polinômio. Exemplo:
         • Se P(x)=x3+2x2+x-4, o valor numérico de P(x), para x=2, é: P(x)= x3+2x2+x-4 P(2)= 23+2.22+2-4 P(2)= 14
           • Observação: Se P(a)=0, o número a chamado raiz ou zero de P(x). Por exemplo, no polinômio P(x)=x2-3x+2 temos P(1)=0; logo, 1 é raiz ou zero desse polinômio.

2. Polinômios iguais:

   • Dois polinômios A(x) e B(x) são iguais ou idênticos (e indicamos A(x)B(x)) quando assumem valores numéricos iguais para qualquer valor comum atribuído à variável x. A condição para que dois polinômios sejam iguais ou idênticos é que os coeficientes dos termos correspondentes sejam iguais.
     • Exemplo: Calcular a,b e c, sabendo-se que x2-2x+1 a(x2+x+1)+(bx+c)(x+1).
       • Resolução: Eliminando os parênteses e somando os termos semelhantes do segundo membro temos: x2-2x+1 ax2+ax+a+bx2+bx+cx+c 1x2-2x+1 (a+b)x2+(a+b+c)x+(a+c)
         • Agora igualamos os coeficientes correspondentes: Substituindo a 1ª equação na 2ª: 1+c = -2 => c=-3. Colocando esse valor de c na 3ª equação, temos: a-3=1 => a=4. Colocando esse valor de a na 1ª equação, temos: 4+b=1 => b=-3. Resposta: a=4, b=-3 e c=-3. Obs: um polinômio é dito identicamente nulo se tem todos os seus coeficientes nulos.
           • DIVISÃO DE POLINÔMIOS:
             • Sejam dois polinômios P(x) e D(x), com D(x) não nulo. Efetuar a divisão de P por D é determinar dois polinômios Q(x) e R(x)
               • 1ª) Q(x).D(x) + R(x) = P(x) 2ª) gr(R) < gr(D) ou R(x)=0
                 • Nessa divisão: P(x) é o dividendo. D(x) é o divisor. Q(x) é o quociente. R(x) é o resto da divisão.
                   • Obs: Quando temos R(x)=0 dizemos que a divisão é exata, ou seja, P(x) é divisível por D(x) ou D(x) é divisor de P(x).

3. MONÔMIOS:

   • Monômios são expressões algébricas que possuem multiplicações entre números e incógnitas (letras que representam algum número desconhecido). Assim, uma expressão não é monômio quando apresenta pelo menos uma adição ou subtração ou ainda quando possui alguma divisão por incógnita.
     • PARTES DE UM MONÔMIO:
       • Para um monômio com coeficientes não nulos, temos que seu grau se dará através da soma entre os expoentes da parte literal.
         • 1/2x2y3z4 → esse é um monômio do 9º grau (2 + 3 + 4 = 9); bcd → esse é um monômio do 3º grau (1 + 1 + 1+ = 3). 25 → esse é um monômio de grau zero (ausência da parte literal); Entre os monômios 2x2, 1/3x3 e 0,5x5 o de maior grau é 0,5x5, pois 5 > 2 > 1/3.
           • Pode-se também atribuir o grau de um monômio em relação a uma de suas incógnitas. Para isso é necessário fazer menção a incógnita considerada.
             • ab² → esse é um monômio do 2º grau em relação a variável b;
               • wz³ → esse é um monômio do 1º grau em relação a variável w;
                 • 4 → esse é um monômio de grau zero pela ausência de variável (eis).
                   • GRAU DE UM MONÔMIO:
                     • Para um monômio com coeficientes não nulos, temos que seu grau se dará através da soma entre os expoentes da parte literal.
                       • 1/2x²y³z4 → esse é um monômio do 9º grau (2 + 3 + 4 = 9)
                         • bcd → esse é um monômio do 3º grau (1 + 1 + 1+ = 3)
                           • 25 → esse é um monômio de grau zero (ausência da parte literal)
                             • Entre os monômios 2x², 1/3x³ e 0,5x^5 o de maior grau é 0,5x^5, pois 5 > 2 > 1/3
                         • Semelhança entre monômios
                           • Dois ou mais monômios são semelhantes quando suas partes literais são iguais.
                             • 3xy e 2/5xy são iguais, pois possuem a mesma parte literal xy;
                               • 0,5a³b² e 10a³b² são iguais, pois possuem a mesma parte literal a³b²
                                 • - 4vwz, 2,3vwz e 1/3vwz são iguais, pois possuem a mesma parte literal vwz
                           • MULTIPLICAÇÃO DE MONÔMIOS:
                             • Multiplicação de monômios Antes de prosseguirmos nesse tópico, devemos relembrar uma propriedade muito importante da potenciação.
                               • 6x²y . 2x4 . 3y → 6.2.3 = 36 e x².x^4.y.y = x^6y², ou seja, 36x^6y²
                                 • 4abc^4. 4ab²c → 4.4 = 16 e a.a.b.b2².c^4.c = a²b³c^5, ou seja, 16a²b³c^5
                                   • 1/2wz . 2/3z → 1/2.2/3 = 2/6 ou 1/3 e w.z.z = wz², ou seja, 1/3wz²
                                     • DIVISÃO DE POLINÔMIOS:
                                       • Na divisão de monômios, dividimos entre si os coeficientes, bem como, a parte literal
                                         • 12x^4y : 3x²y → 12:3 = 4, x^4:x²= x² e y:y = 1, ou seja, 4x²