ESFUERZOS EN EJES Y VIGAS

ESFUERZOS EN EJES Y VIGAS

1. TORCIÓN

   • EJES CIRCULARES EN TORSIÓN
     • Deformaciones en un eje circular
       • Características de la deformación
         • Considere un eje circular unido a un soporte fijo en uno de sus extremos
           • 7
             • Dentro de un cierto rango de valores de T, el ángulo de torsión ϕ es proporcional a T y es proporcional a la longitud L del eje.
           • Si se aplica un par de torsión T al otro extre-mo, el eje se torcerá, al girar su extremo libre a través de un ángulo ϕ llamado ángulo de torsión
         • Cuando un eje circular se somete a torsión, toda sección transversal permanece plana y sin distorsión.
           • 8
             • muestra las deformaciones en un modelo de caucho sometido a torsión
               • Esta propiedad es característica de ejes circulares, sólidos o huecos, pero no de los elementos con sección transversal no circular
                 • ejemplo
                   • cuando una barra con sección transversal cuadrada se somete a torsión, sus distintas secciones transversales se tuercen y no permanecen planas
         • Las secciones transversales de un eje circular permanecen planas y sin distorsión debido a que un eje circular es simétrico axialmente
           • Las barras cuadradas conservan la misma apariencia solo si se les gira 90° o 180°.
         • la simetría axial de los ejes circulares puede emplearse para probar que sus secciones transversales permanecen planas y sin distorsión.
           • Considere los puntos C y D localizados en la circunferencia de una sección transversal dada
             • sean C' y D' las posiciones que ocupan después de que el eje ha sido torcido
               • 9
                 • La simetría axial requiere que la rotación que hubiera causado que D llegara a D' lleve a C a C'
                 • C' y D' deben estar en la circunferencia de un círculo, y el arco C'D' debe ser igual al arco CD
                   • Suponga que C' y D' sí están en un círculo diferente y que el círculo nuevo está a la izquierda del círculo original
                     • La misma situación prevalecerá para cualquier otra sección transversal
                       • ya que todas las secciones transversales del eje están sometidas al mismo par de torsión interno T
                         • de esta manera un observador que vea al eje desde su extremo A concluirá que la carga provoca que cualquier círculo dado dibujado sobre el eje se aleje.
                           • Pero para un observador localizado en B, la carga dada se ve igual donde el círculo se mueve hacia él.
                             • Esta contradicción prueba que C' y D' se encuentran en el mismo círculo que C y que D.
                               • Por lo tanto, al ser torcido el eje, el círculo original solo gira sobre su propio plano.
                                 • Ya que el mismo razonamiento puede aplicarse a cualquier círculo concéntrico más pequeño localizado en la sección transversal, toda la sección transversal permanece plana
                                   • 10
                                     • El argumento anterior no excluye la posibilidad de que los distintos círculos concéntricos de la figura giren en cantidades diferentes cuando se tuerce el eje
                                       • 11
                                         • Un observador que viera esta curva desde A concluiría que las capas externas del eje se tuercen más que las internas
                                         • mientras que un observador colocado en B concluirá lo contrario. figura 3.11b
                                         • Esta inconsistencia indica que cualquier diámetro de una sección transversal dada permanece recto .figura 3.11c
                                         • Cualquier sección transversal dada de un eje circular permanece plana y sin distorsión.
                                       • Pero si ése fuera el caso, un diámetro dado de la sección transversal sería distorsionado en una curva, como se muestra en la figura 3.11a
           • Ahora considere el modo de aplicación de los pares de torsión T y T'.
             • Si todas las secciones del eje, desde un extremo hasta el otro, deben permanecer planas y sin distorsión
               • los pares se aplican de tal manera que los extremos mismos del eje permanezcan planos y sin distorsión.
                 • Esto puede lograrse aplicando los pares T y T' a placas rígidas, que se encuentren sólidamente unidas a los extremos del eje
                   • 12
                     • Todas las secciones permanecerán planas y sin distorsión cuando la carga se aplique
                     • las deformaciones resultantes serán uniformes a lo largo de todo el eje.
                     • Todos los círculos igualmente espaciados, que se muestran en la figura 3.12a
                       • girarán en la misma cantidad en relación con sus vecinos
                     • cada una de las líneas rectas se convertirá en una curva (hélice) que interseca los distintos círculos con el mismo ángulo de la figura 3.12b
       • Deformaciones cortantes.
         • ejemplo 1.1
           • este se basarán en el supuesto de placas rígidas en los extremos
             • pero las condiciones de carga pueden diferir de las correspondientes al modelo de la figura 3.12
               • Este modelo ayuda a definir un problema de torsión para el que puede obtenerse una solución exacta.
                 • Gracias al principio de Saint-Venant, los resultados obtenidos para el modelo idealizado pueden extenderse a la mayor parte de las aplicaciones de ingeniería
           • Ahora se determinará la distribución de las deformaciones cortantes en un eje circular de longitud L y radio c que ha sido torcido en un ángulo ϕ
             • 13
               • Al separar del eje un cilindro de radio ρ, considere el pequeño elemento cuadrangular, formado por dos círculos adyacentes y dos líneas rectas adyacentes trazadas en la superficie, antes de que se aplique carga alguna
               • Al someterse el eje a una carga de torsión, el elemento se deforma para convertirse en un rombo
                 • la deformación cortante γ en un elemento dado se mide por el cambio en los ángulos formados por los lados de dicho elemento
                   • Como los círculos que definen dos de los lados permanecen sin cambio, la deformación cortante γ debe ser igual al ángulo entre las líneas AB y A'B
               • para valores pequeños de γ, la longitud del arco AA' se expresa como AA' = Lγ
                 • Pero, como AA' = ρϕ
                   • 14
                     • donde γ y ϕ están en radianes
                     • muestra que la deformación cortante γ en un punto dado del eje en torsión es proporcional al ángulo de torsión ϕ
                     • muestra que γ es proporcional a la distancia ρ desde el eje de la flecha hasta ese punto
                       • la deformación cortante en una flecha circular varía linealmente con la distancia desde el eje de la flecha
                     • A partir de la ecuación la deformación cortante es máxima en la superficie del eje
                       • 15
                         • donde ρ = c
                         • Al eliminar ϕ de las ecuaciones (3.2) y (3.3), la deformación cortante γ a una distancia ρ del eje de la flecha es
                           • 16
     • Esfuerzos en el rango elástico
       • link
         • https://www.goconqr.com/es-ES/mind_maps/22822497
     • Esfuerzos en un eje
       • link
         • https://www.goconqr.com/es-ES/mind_maps/22822497

2. FLEXIÓN PURA

   • ESFUERZOS Y DEFORMACIONES EN EL RANGO ELÁSTICO
     • se considerará el caso en que el momento flector M es tal que los esfuerzos normales en el miembro permanecen por debajo de la resistencia a la cedencia σY
       • los esfuerzos en el miembro permanecen por debajo del límite proporcional y también por debajo del límite elástico
         • No habrá deformación permanente, y la ley de Hooke es aplicable
           • Suponiendo que el material es homogéneo y denotando su módulo de elasticidad como E
             • el esfuerzo normal en la dirección longitudinal x es
               • 16
                 • Al recordar la ecuación (4.10) y multiplicando ambos miembros por E, se escribe
                   • 17
                     • o utilizando la ecuación (4.11)
                       • 18
                         • donde σm denota el valor máximo absoluto del esfuerzo
                         • Este resultado muestra que, en el rango elástico, el esfuerzo normal varía linealmente con la distancia desde la superficie neutra
                           • 19
                             • Observe que aún no se han determinado ni la ubicación de la superficie neutra ni el valor máximo del esfuerzo σm
                               • Ambos se pueden determinar con las ecuaciones (4.1) y (4.3).
                                 • Al sustituir σx de la ecuación (4.12) en la ecuación (4.1), se escribe
                                   • 20
                                     • del cual
                                       • 21
                                         • Esta ecuación muestra que el primer momento de la sección transversal con respecto a su eje neutro debe ser cero
                                           • Por consiguiente, para un miembro sometido a flexión pura y mientras que los esfuerzos permanezcan en el rango elástico, el eje neutro pasa por el centroide de la sección
                                         • Recuerde la ecuación (4.3), la cual se desarrolló con respecto a un eje z horizontal arbitrario
                                           • 22
                                             • Al especificar que el eje z coincide con el eje neutro de la sección transversal, sustituya σx de la ecuación (4.12) en la ecuación (4.3):
                                               • 23
                                                 • o
                                                   • 24
                                                     • Recuerde que para flexión pura el eje neutro pasa por el centroide de la sección transversal e I
                                                       • es el momento de inercia o segundo momento de área de la sección transversal con respecto a un eje centroidal perpendicular al plano del momento M
                                                     • Al resolver σm de la ecuación (4.14)
                                                       • 25
                                                         • Al sustituir σm de la ecuación (4.15) en la ecuación (4.12) se obtiene el esfuerzo normal σx a cualquier distancia y del eje neutro
                                                           • 26
                                                             • Las ecuaciones (4.15) y (4.16) se conocen como fórmulas de flexión elástica
                                                               • y el esfuerzo normal σx por el doblado o “flexión” del miembro, a menudo se denomina esfuerzo por flexión.
                                                                 • El esfuerzo es de compresión (σx < 0) sobre el eje neutro (y > 0) cuando el momento flector M es positivo
                                                                 • tensión (σx > 0) cuando M es negativo.
                                                         • la razón I/c depende solo de la geometría de la sección transversal
                                                           • Esta razón se define como módulo de sección elástico S, donde
                                                             • 27
                                                         • Al sustituir S en lugar de I/c en la ecuación esta ecuación en forma alternativa es
                                                           • 28
                                                         • Dado que el esfuerzo máximo σm es inversamente proporcional al módulo de sección elástico S, las vigas deben diseñarse con un valor de S tan grande como sea práctico.
                                                           • ejemplo
                                                             • una viga de madera con una sección transversal rectangular de ancho b y peralte o altura h tiene
                                                               • 29
                                                                 • donde A es el área de sección transversal de la viga.
                                                                   • Para dos vigas con la misma área de sección transversal A
                                                                     • 30
                                                                       • la viga con la mayor altura h tendrá el mayor módulo de sección y resistirá más la flexión
                                                                         • En el caso de acero estructural
                                                                           • 31
                                                                             • se prefieren las vigas americanas estándar (vigas S) y las vigas de brida o ala ancha (vigas W) a otros perfiles
                                                                               • debido a que una gran parte de su sección transversal se encuentra lejos del eje neutro
                                                                                 • 32
                                                                                   • Por consiguiente, para un área de sección y altura dadas, su diseño proporciona valores grandes de I y S.
                                                                                     • En tablas que incluyen varias propiedades geométricas
                                                                                       • se pueden obtener valores del módulo de sección elástico de vigas comúnmente fabricadas
                                                             • Para determinar el esfuerzo máximo σm en una sección dada de una viga estándar
                                                               • el ingeniero solo tiene que leer el valor del módulo S de sección elástico en la tabla
                                                                 • y dividir el momento flector M de la sección entre S.
                                                                   • La deformación del miembro producida por el momento flector M se mide por la curvatura de la superficie neutra.
                                                                     • La curvatura se define como el recíproco del radio de curvatura ρ y se obtiene resolviendo 1/ρ de la ecuación (4.9)
                                                                       • 33
                                                                         • En el rango elástico, ϵm= σm/E. Al sustituir ϵm en la ecuación (4.20) y al recordar la ecuación (4.13), se escribe
                                                                           • 34
                                                                             • o
                                                                               • 35
   • DEFORMACIONES EN UNA SECCIÓN TRANSVERSAL
     • link
       • https://www.goconqr.com/es-ES/mind_maps/22822558
   • MIEMBROS SIMÉTRICOS SOMETIDOS A FLEXIÓN PURA
     • link
       • https://www.goconqr.com/es-ES/mind_maps/22822497

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