Fatoração de Polinômios

Fatoração de Polinômios

1. Fatorar um polinômio é expressá-lo por meio de uma multiplicação

   • 1º caso de fatoração: fator comum
     • Para fatorar uma expressão algébrica utilizando esse primeiro caso de fatoração, todos os monômios da expressão algébrica devem ter pelo menos algum termo em comum. A fatoração é feita colocando o termo comum em evidência, vejamos alguns exemplos
       • 3a+3ab = 3a (a+b)
       • 4xy+6xz = 2x (2y+3z)
       • 3º caso de fatoração: Trinômio do quadrado perfeito
         • Para fatorar uma expressão algébrica utilizando esse 3º caso, a expressão deverá ser um trinômio e formar um quadrado perfeito.
           • O primeiro monômio é o quadrado do primeiro termo; o segundo monômio é duas vezes o primeiro termo vezes o segundo; e o terceiro monômio é o quadrado do segundo termo.
             • 5º caso de fatoração: Soma de dois cubos
               • O quinto caso de fatoração é a fatoração de uma expressão algébrica composta por dois monômios (seja um binômio) e entre eles há a operação de adição, esses dois monômios são elevados ao cubo (elevados à terceira potência). Veja o Exemplo:
                 • a3 + 1000 = (a + 10) ( a² - 10a + 10²); (a + 10) (a² - 10a + 10a)
                   • Formula: a3 + b3 = ( a - b ) ( a² - ab + b² )
         • O quadrado perfeito (x + y)2 é composto por dois fatores (x e y). A resolução dele é um trinômio x2 +2xy + y2. O primeiro monômio é o quadrado do primeiro termo; o segundo monômio é duas vezes o primeiro termo vezes o segundo; e o terceiro monômio é o quadrado do segundo termo.
   • 2º caso de fatoração: Agrupamento
     • Para fatorar uma expressão algébrica utilizando o agrupamento é preciso agrupar os termos semelhantes e colocá-los em evidência. Quando aplicamos o caso de fatoração por agrupamento, utilizamos a fatoração por termos comuns. Veja:
       • Se observarmos a expressão ab + 3b + 7a + 21 veremos que não são todos os monômios que têm termos semelhantes, mas podemos unir os que possuem termos semelhantes. Assim, temos: ab + 3b + 7a + 21, agora aplicamos o 1º caso de fatoração (termo comum), colocando em evidência cada elemento comum de cada agrupamento.
         • Então: b (a + 3) + 7 (a + 3) Mesmo fazendo essa fatoração observamos que ainda podemos fazer mais uma fatoração, pois os dois termos b (a + 3) e 7 (a + 3) possuem um termo em comum (a + 3). Então, aplicamos o processo do fator comum, ficando assim a fatoração: b (a + 3) + 7 (a + 3) (a + 3) (b + 7) Portanto, a expressão algébrica ab + 3b + 7a + 21 fatorada fica assim: (a + 3) (b + 7).
           • 4º caso de fatoração: Diferença de dois quadrados
             • Esse caso de fatoração só pode ser utilizado em expressões algébricas que possuem dois monômios e os mesmos devem estar elevados ao quadrado (elevados à quinta potência).
               • (a+b).(a-b) = a² - b²
                 • x² - 49 = x² - 7²; (x + 7) . (X - 7)
               • 6º caso de fatoração: diferença de dois cubos
                 • O sexto caso de fatoração é semelhante ao 5 caso, a diferença é na operação entre os dois monômios que aqui nesse caso é uma subtração (diferença). Veja o exemplo para entendermos melhor:
                   • x3 - 64 = ( X - 4 ) ( X² + 4x + 4² ); ( x - 4 ) ( x² + 4x + 16 )
                     • Formula: a3 - b3 = ( a - b ) ( a² + ab + b² )