ILC

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1. Métodos de demonstração

   • Seja bastante claro na sua demonstração, mantenha uma formalidade e seja coeso. Explicite as variáveis utilizadas e o que está sendo feito e descoberto a cada passo da demonstração.
   • Direta
     • Nesse método isolamos um elemento do domínio na forma incógnita e demonstramos a conjectura a partir do ponto de vista de que a premissa é verdadeira. Dessa forma por x n assumir valor algum podemos afirmar que se a premissa foi verdadeira para o elemento demonstrado ele é para todo o conjunto.
   • Contraposição
     • Nesse método nós utilizamos de uma propriedade da lógica proposicional, negamos a implicação (conclusão) e invertemos a implicação, dessa forma obtemos a não conclusão implica a não premissa, assim se ao fim de demonstrarmos tudo a partir da conclusão erronea e obtemos uma premissa também invertida, sabemos que a afirmação é verdadeira.
   • Vacuidade
     • Mais uma vez explorando propriedades da lógica proposicional de implicação, temos que se a conclusão for sempre falsa, a proposição será sempre verdadeira.
   • Trivial
     • Trivial é o método de demonstração onde não se precisa demonstrar nada, pois a conclusão da conjectura é trivial, Ex: Todo número inteiro ao quadrado é um inteiro não negativo. Essa afirmação é trivialmente verdadeira pois qualquer número inteiro ao quadrado é positivo a não ser pelo zero.
   • Contradição
     • A demonstração por contradição ocorre quando partindo de uma premissa verdadeira, com inferências válidas obtemos uma contradição ou uma conclusão falsa. Essa diferente das outras prova a não verdade da premissa.
   • Equivalências
     • Esse método é mais utilizado para demonstrações em cadeia, demonstrações que estão ligadas, geralmente por uma equivalência, isso implica um sse entre as proposições, o que torna necessário demonstrar que todas as proposições são verdadeira para que a conjectura seja.
   • Contra-exemplo
     • Esse método serve para provar a falsidade de afirmações, funciona assim, basicamente, diante de um domínio para todo, devemos achar  um único elemento que não supre a sentença para provar que ela é falsa. Ex:http://prntscr.com/utm8cp
   • Exaustão
     • Nesse método demonstramos caso a caso, de forma exaustiva até que se acabe o conjunto.
   • Construtiva
     • Esse método é utilizado apenas no quantificador existe pois ele mostra de maneira construtiva se existe um elemento para o qual a sentença é verdadeira. Ex: http://prntscr.com/utmbnn
   • Não construtiva
     • A demonstração não construtiva é aquela que trabalha de forma abstrata a existência ou não de um elemento. Ex: http://prntscr.com/utmdyc
   • Mais comuns

2. Conjuntos

   • O conjunto é uma coleção não ordenada de objetos bem definidos denominados elementos ou membros do conjunto, usamos a letra minúscula para representar elementos de conjuntos e maiúsculas para conjuntos.
   • Conjuntos "padrões"
     • R = Números reais
       • Q = Números racionais
         • (p/q: q=/= 0)
         • Z = Números inteiros
           • N = Números naturais
           • Z+ = Inteiros positivos
       • R+ = Números reais positivo
       • I = Números irracionais
         • Todo número que é real mas não é racional
     • C = Números complexos
       • Todos que não se enquadram em um dos grupos anteriores.
     • ∅ ou {} = Conjunto vazio
       • Conjunto que está contido em todo e qualquer conjunto, lembre porém que ele é subconjunto de todo conjunto mas não necessariamente pertence a determinado conjunto. {∅} não é conjunto vazio, é um conjunto contendo o conjunto vazio. o conjunto vazio nesse caso é um subconjunto.
   • Igualdade de conjuntos
     • Dois conjuntos são iguais se eles tiverem os mesmo elementos, não importando ordem, tamanho de conjunto, ou repetição de elementos.
   • Subconjuntos
     • Normal
       • Representado pelo simbolo ⊆, em uma sentença A ⊆ B, lê-se B contém A, dessa forma existem duas possibilidades, o conjunto A é um conjunto dentro de B ou é igual a B.
     • Próprio
       • vel oO subconjunto próprio passa uma ideia diferente, é representado pelo símbolo ⊂ , que intuitivamente é possível observar a saida da igualdade, o que significa que em A ⊂ B, A está em B mas n pode ser igual a B.
   • Conjunto potência
     • Demonstração de como é feito: http://prntscr.com/utocnf Propriedade para identificar a quantidade de elementos do conjunto potência:http://prntscr.com/utodat
   • Produto cartesiano
     • Como é feito: http://prntscr.com/utsoe6j É interessante observar também que nessa operação não existe a comutatividade: http://prntscr.com/utoe6j
   • Operações de conjuntos
     • Use diagramas de Ven para vizualizar, é muito bom. Ex: http://prntscr.com/utoj1i
     • União
       • Semelhante ao 'ou' da lógica proposicional. http://prntscr.com/utogkl
     • Interseção
       • Semelhante ao 'e' da lógica proposicional. http://prntscr.com/utogza
     • Diferença
       • Resumidamente uma subtração. http://prntscr.com/utohlb
     • Complemento
       • Complemento é como se fosse o conjunto universo - o conjunto sob complemento. http://prntscr.com/utoif8
     • Operações de conjunto com somatório
       • Existe uma operação que utiliza de propriedades como a união junto a uma função parecida com um somatório: - http://prntscr.com/utokgr - http://prntscr.com/utoknz
     • Equivalências entre conjuntos
       • É importante também mostrar que existe aqui manipulação de equivalência também, exatamente como em lógica proposicional só que com novas propriedades já que agora falamos de conjunto. Ex's: -http://prntscr.com/utomm6 -http://prntscr.com/utom88 Que também pode ser mostrado usando tabela verdade que aqui tem nome de pertinência:http://prntscr.com/uton8a Leia pág 2 ---->
       • Tabela para ser utilizada no cálculo das equivalências: http://prntscr.com/utootb
   • Conjunto disjunto
     • Um conjunto é disjunto do outro quando ele n tem nenhuma relação com o outro, quando não existe nenhum elemento em comum entre os dois. http://prntscr.com/utopj8
   • Partição de conjuntos
     • A partição de conjuntos ocorre quando seus elementos são distribuidos em outros subconjuntos: http://prntscr.com/utoqgv

3. Funções

   • Uma função nesse contexto é um algoritmo que recebe uma entrada e da uma saída. Geralmente aparecem como F(x) = x, mas podem ser representadas como F:x --> x
   • Injetiva
     • É aquela função também chamada one-to-one, essa função atribui um elemento diferente no co-domínio para cada elemento do domínio, isto é, cada elemento do domínio tem seu próprio e exclusivo elemento no codomínio.
   • Sobrejetiva
     • A função sobrejetiva é aquela função que supri todas os elementos do co-domínio, isto é, todo valor do co-domínio foi atribuido a pelo menos um elemento do domínio.
   • Bijetiva
     • A função bijetiva é aquela que supri as duas necessidades, sobrejetiva e injetiva.
   • Inversa
     •  Representada por f^-1 é a função que é a inversa da original,  observe que, para possuir uma inversa ela deve ser bijetiva, dessa forma a função inversa tem o objetivo de a partir do co-domínio descobrir qual o elemento foi utilizado no domínio. http://prntscr.com/utp4oj
   • Conceitos
     • Domínio
       • É o conjunto utilizado na entrada da função. http://prntscr.com/utovif
     • Co-domínio
       • É o conjunto onde a função busca e atribui os resultados, não necessariamente o co-domínio possui apenas os resultados. http://prntscr.com/utovif
     • Imagem
       • A imagem da função são os valores atribuidos no co-domínio. http://prntscr.com/utovif
     • Pares ordenados
       • É o conjunto com os resultados anexados a suas entradas: http://prntscr.com/utoxox
     • Igualdade de funções
       • Duas funções são consideradas iguais se elas possuem mesmo domínio, co-domínio e mapeiam (atribuem) cada elemento do domínio ao mesmo que a outra função no co-domínio. http://prntscr.com/utozbk
   • Composição de funções
     • A composição de funções nada mais é que o empilhamento das funções http://prntscr.com/utp7f2 http://prntscr.com/utp7lk
   • Função identidade
     • Semelhante a matriz identidade de GAAL, possui a propriedade de não influenciar numa composição de funções e ser o resultado de uma função em composição com ela mesma: http://prntscr.com/utp90e
   • Funções teto e piso
     • São funções cujo entendimento é trivial, o teto arredonda pra cima e o piso pra baixo, a única diferença é que aqui são representados por barrinhas com pequenos traços fechando em cima ou em baixo, indicando teto ou piso, a única coisa que tem que se ficar esperto é com a funcionalidade dessas funções nos números negativos: O teto de -1/2 por exemplo é 0, pois arredondando pra cima o próximo número é 0. http://prntscr.com/utpcnz
   • Parciais
     • São aquelas funções que só funcionam para alguns elementos mas não para todos, Ex:http://prntscr.com/utpfs3

4. Sequências

   • Diferente de conjuntos, sequências são listas ORDENADAS de elementos.
   • Infinita
     • Um exemplo de sequência infinita um dos conjuntos numéricos, por exemplo, os números naturais são uma sequência infinita.
   • Finita
     • Uma sequência finita é uma sequência que possui limites, por exemplo uma contagem de 0 a 10
   • Identificando a progressão da sequência
     •  http://prntscr.com/utpfs3 Vimos no exemplo que separamos e estipulamos o termo inicial, a partir dai observamos como progride e a partir daí formamos a função que gera a sequência. Observe que nem sempre você  conseguirá achar a fórmula. http://prntscr.com/utpkxo http://prntscr.com/utpkg2

5. Somatório e produtório

   • Visualize como se fosse um loop.
   • Somatório
     • Estrutura de repetição que possui 3 dados em torno de seu símbolo de somatório já conhecido, em cima está seu limite, a direita temos o elemento que será no caso somado ao resultado já aculmulado e por último temos em baixo o index que indica a partir de que número o loop será executado, a função para quando o i chega ao valor de n que está na parte superior.
   • Produtório
     • Estrutura de repetição que possui 3 dados em torno de seu símbolo de PI maiúsculo, em cima está seu limite, a direita temos o elemento que será no caso multiplicado ao resultado já aculmulado e por último temos em baixo o index que indica a partir de que npumero o loop em questão será executado, a função para quando o i chega ao valor de n que está na parte superior.
   • Variáveis
     • Livres
       • Toda variável que não é ligada, geralmente a variável superior representada por n.
     • Ligadas
       • É a variável sob a qual os termos do somatório são definidos, isto é, numa estrutura padrão i é a variável ligada pois é sobre ela que é "corrido" o somatório.
     • Propriedades
       • Se a variável ligada for mudada em todo o somatório o resultado final permanece o mesmo mas caso vc mude a variavel livre seu somatório ou produtório terá um resultado diferente já que logicamente você expandiu ou diminuiu os elementos da conta o que interfere no resultado final.http://prntscr.com/uv1ggb
       • Também é possível afirmar que existem diferentes jeitos de escrever um somatório/produtório, basta olhar e perceber suas propriedades como no exemplo: http://prntscr.com/uv1hyg