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Contexto histórico de la rigorización de las
matemáticas y la crisis de los fundamentos
matemáticos en el siglo XX
- Análisis contexto histórico de las
matemáticas.
- las matemática al igual que las demás ciencias, ha vivido en su larga trayectoria
numerosas crisis, las cuales ah superado victoriasamente, aflorando de cada una de
ellas más solida y pujante. Consolidadndo así en su acervo metodológico nuevos y mas
selectos instrumentos de investigación (González, 1950).
- Una de las Crisis más
importantes a lo largo de la
historía fué la
(epistemologíca)
- creación de la
Geometría analítica
- Renato Descartes (1637)
- Renato Descartes (1637)
- Cálculo
infinitesimal
- Newton y Leibniz (hacia
fines del siglo XVII)
- Esta crisis logra ser superada gracias a grandes matemáticos
quienes logran establecer, por primera vez, con claridad y precisión,
los conceptos de:
- Números
reales
- Richard Dedekind
- Richard Dedekind
- Límite
- Louis Cauchy
- Louis Cauchy
- Infinitesimal
- Leibniz, Newton y
Weierstrass
- Leibniz, Newton y
Weierstrass
- Continuidad
- Bolzano
- Bolzano
- Números
reales
- Esta crisis logra ser superada gracias a grandes matemáticos
quienes logran establecer, por primera vez, con claridad y precisión,
los conceptos de:
- Newton y Leibniz (hacia
fines del siglo XVII)
- creación de la
Geometría analítica
- Una de las Crisis más
importantes a lo largo de la
historía fué la
(epistemologíca)
- las matemática al igual que las demás ciencias, ha vivido en su larga trayectoria
numerosas crisis, las cuales ah superado victoriasamente, aflorando de cada una de
ellas más solida y pujante. Consolidadndo así en su acervo metodológico nuevos y mas
selectos instrumentos de investigación (González, 1950).
- Proceso de rigorización de las
matemáticas en el siglo XIX
- Se establece un proceso de rigorización en busca de esclarecer algunos
conceptos y definirlos de una mejor manera. Por ejemplo, las nociones de
función, derivada, continuidad, integral. Buscando dar un tratamiento más
consistente a las series, puesto que durante el siglo XVIII no se ponía mucho
cuidado de si éstas eran convergentes o divergentes de hecho, se llegaba a
contradicciones importantes. Uno de los ejemplos son las representaciones de
las funciones por medio de series trigonométricas, que habían incurrido en
algunas confusiones (Ruiz., sfd).
- Período en el que pierden su asidero
propiedades tan importantes de los sistemas
numéricos conocidos como la conmutatividad,
o una geometría que daba cuenta de manera
natural de representar nuestras percepciones
de la realidad exterior, la euclidiana. (Ruiz., sfd).
- En este reciente escenario se planteaban
nuevos criterios basados en la aritmética, el
álgebra, la lógica abstracta de manera
dominante.
- Se desarrollaron nuevas geometrías y se
potencio la abstracción en el algebra
- En este reciente escenario se planteaban
nuevos criterios basados en la aritmética, el
álgebra, la lógica abstracta de manera
dominante.
- Uno de lo asuntos que debió ser revisado fue el
concepto de función, debido a la emersión de
una gran cantidad y variedad de funciones en
la actividad de las matemáticos de la época.
(Ruiz., sfd).
- Gauss
- Consideraba que una función era una expresión cerrada
analítica y finita, aunque habló de las series
hipergeométricas como funciones, pero sin total convicción
que se trataba de funciones. (Ruiz., sfd).
- Consideraba que una función era una expresión cerrada
analítica y finita, aunque habló de las series
hipergeométricas como funciones, pero sin total convicción
que se trataba de funciones. (Ruiz., sfd).
- Lagrange
- Usó las series de potencias como funciones y con ello ofreció
un concepto más amplio. (Ruiz., sfd).
- Usó las series de potencias como funciones y con ello ofreció
un concepto más amplio. (Ruiz., sfd).
- Fourier
- amplió el debate, afirmando que no se requería una
representación analítica para una función. (Ruiz., sfd).
- amplió el debate, afirmando que no se requería una
representación analítica para una función. (Ruiz., sfd).
- Gauss
- Período en el que pierden su asidero
propiedades tan importantes de los sistemas
numéricos conocidos como la conmutatividad,
o una geometría que daba cuenta de manera
natural de representar nuestras percepciones
de la realidad exterior, la euclidiana. (Ruiz., sfd).
- Se establece un proceso de rigorización en busca de esclarecer algunos
conceptos y definirlos de una mejor manera. Por ejemplo, las nociones de
función, derivada, continuidad, integral. Buscando dar un tratamiento más
consistente a las series, puesto que durante el siglo XVIII no se ponía mucho
cuidado de si éstas eran convergentes o divergentes de hecho, se llegaba a
contradicciones importantes. Uno de los ejemplos son las representaciones de
las funciones por medio de series trigonométricas, que habían incurrido en
algunas confusiones (Ruiz., sfd).
- Crisis de los fundamentos
matemáticos en el siglo XX
- A finales del siglo XIX y principios del siglo XX surgieron algunos matemáticos
quienes pretendieron no solo fortalecer la lógica sino replantear radicalmente
la cuestión ontológica y examinar el significado de “existencia” en
matemáticas. Y con ellos aparecen diferentes posiciones que podrían agruparse
en tres tendencias: (Cherubine, 2015)
- El logicismo:
- se caracteriza por su convicción de que la lógica es la base, la fuente, la niñez de la matemática,
desacreditando a la geometría o al espacio como modelo fundamental o fuente generadora de
los “entes” matemáticos, y por su convencimiento de que las leyes de la lógica encierran o
constituyen verdades absolutas (Ruiz, 2012).
- Cambio o
avance
- Gottlob Frege y
Beltrand Russell
- Fundadores del logicismo ficha clave para el desarrollo de la geometría analítica
en el siglo xx. Fregeelabora un método axiomático en la conceptografía que
revoluciono la lógica.(Cherubine, 2015).
- Cálculo varitativo funcional
de propociciones
- Notasciones simbólicas
(cuantificadores y
variables).
- Establecen las bases de la
lógica matemática
- Cálculo varitativo funcional
de propociciones
- Fundadores del logicismo ficha clave para el desarrollo de la geometría analítica
en el siglo xx. Fregeelabora un método axiomático en la conceptografía que
revoluciono la lógica.(Cherubine, 2015).
- Russell y Alfred
North
- Russell expone que los axiomas de Frege eran inconsistentes, lo que dio lugar a la
desde entonces llamada “paradoja de Russell”.Bertrand Russell, quien,
conjuntamente con Alfred North Whitehead (1861-1947), publican Principia
Mathematica en tres volúmenes en 1910, 1912, 1913. En donde exponen que los
objetos matemáticos son objetos puramente lógicos y los principios matemáticos
son leyes lógicas o derivados de leyes lógicas (Cherubine, 2015).
- Teoría de conjuntos
- Teoría de los números
cardinales
- Teoría de los
números ordinales
- Teoría números
reales
- Teoría de conjuntos
- Russell expone que los axiomas de Frege eran inconsistentes, lo que dio lugar a la
desde entonces llamada “paradoja de Russell”.Bertrand Russell, quien,
conjuntamente con Alfred North Whitehead (1861-1947), publican Principia
Mathematica en tres volúmenes en 1910, 1912, 1913. En donde exponen que los
objetos matemáticos son objetos puramente lógicos y los principios matemáticos
son leyes lógicas o derivados de leyes lógicas (Cherubine, 2015).
- Gottlob Frege y
Beltrand Russell
- Cambio o
avance
- se caracteriza por su convicción de que la lógica es la base, la fuente, la niñez de la matemática,
desacreditando a la geometría o al espacio como modelo fundamental o fuente generadora de
los “entes” matemáticos, y por su convencimiento de que las leyes de la lógica encierran o
constituyen verdades absolutas (Ruiz, 2012).
- El formalismo:
- buscaba una demostración de la consistencia absoluta de la matemática, partiendo de la
base de que la matemática se desarrolla simultánea o paralelamente con la lógica y que la
actividad matemática se restringe a la manipulación de símbolos carentes de todo
significado intuitivo por medio de reglas de transformación explícita y formal. Para los
formalistas algo ‘existe’ en un sistema matemático si su introducción en la teoría no
implica contradicción (Ruiz, 2012).
- Cambio o
avance
- David Hilbert
- Plantea los 23 problemas no resueltos que, según su pensar,
constituirían el gran desafío para los matemáticos del siglo XX.Establece
los axiomas desde los cuales puede desarrollarse toda la geometría, tanto
euclídea como la no euclídea, mediante pura deducción (Cherubine,
2015).
- Teoría de
invariantes
- Axiomatización de la
geometría
- Teoría de
invariantes
- Plantea los 23 problemas no resueltos que, según su pensar,
constituirían el gran desafío para los matemáticos del siglo XX.Establece
los axiomas desde los cuales puede desarrollarse toda la geometría, tanto
euclídea como la no euclídea, mediante pura deducción (Cherubine,
2015).
- Ernst Zermelo
- Publica la primera axiomatización de la teoría de conjuntos, pero no consigue
demostrar su consistencia (Cherubine, 2015).
- Cardinales
transfinitos
- Teorema de buen orden ("cada
conjunto puede estar bien
ordenado")
- Cardinales
transfinitos
- Publica la primera axiomatización de la teoría de conjuntos, pero no consigue
demostrar su consistencia (Cherubine, 2015).
- David Hilbert
- Cambio o
avance
- buscaba una demostración de la consistencia absoluta de la matemática, partiendo de la
base de que la matemática se desarrolla simultánea o paralelamente con la lógica y que la
actividad matemática se restringe a la manipulación de símbolos carentes de todo
significado intuitivo por medio de reglas de transformación explícita y formal. Para los
formalistas algo ‘existe’ en un sistema matemático si su introducción en la teoría no
implica contradicción (Ruiz, 2012).
- El intuicionismo
- se ubica en la línea de pensamiento de Kant. Sostiene que la matemática es una
creación de la mente humana y que la intuición matemática tiene plena certeza
sobre la solidez del sistema de los números naturales (Ruiz, 2012).
- Cambio o
avance
- Leopold
Kronecker
- Kronecker considera que los números enteros positivos son entidades
que existen, pero los racionales, los irracionales, los imaginarios, los
trascendentes, etc., son símbolos. (Cherubine, 2015).
- funciones elípticas
Algebra
- funciones elípticas
Algebra
- Kronecker considera que los números enteros positivos son entidades
que existen, pero los racionales, los irracionales, los imaginarios, los
trascendentes, etc., son símbolos. (Cherubine, 2015).
- Luitzen Egbertus
Jan Brouwer Henri
Poincaré (1854-1912)
- Fundador de la filosofía matemática del intuicionismo. (Cherubine, 2015).
Criticó constantemente las llamadas pruebas de existencia matemáticas
pura basadas en el principio lógico del medio excluido. (Brower, 1979)
- Teoría de conjuntos
- Teoría métrica
- Análisis complejo
- Teoría de conjuntos
- Fundador de la filosofía matemática del intuicionismo. (Cherubine, 2015).
Criticó constantemente las llamadas pruebas de existencia matemáticas
pura basadas en el principio lógico del medio excluido. (Brower, 1979)
- Luitzen Brouwer.
- figura central en la historia de la matemática contemporánea y la filosofía.
Brouwer defiende que la matemática es una libre creación mental,
desarrollada a partir de una intuición primordial (la del tiempo) e
independiente de la experiencia. (Cherubine, 2015).
- Fundamento
axiomático
- Fundamento
axiomático
- figura central en la historia de la matemática contemporánea y la filosofía.
Brouwer defiende que la matemática es una libre creación mental,
desarrollada a partir de una intuición primordial (la del tiempo) e
independiente de la experiencia. (Cherubine, 2015).
- Leopold
Kronecker
- Cambio o
avance
- A partir de 1874, Georg Cantor (1845-1918) inicia la formulación de la teoría de
conjuntos. Su punto de partida son las colecciones de objetos; y rápidamente,
aunque no sin resistencias, dicha teoría se convierte en el candidato ideal para ser
usado como fundamento de la matemática. (Cherubine, 2015)
- Karl Weierstrass (1815-1897) y el firme rechazo por parte de Leopold
Kronecker (1823-1891), Cantor sigue con la publicación de sus artículos
en el Journal de Crelle y en Mathematische Annalen, hasta que,
finalmente, entre 1895 y 1897, publica su tratado en dos volúmenes de
teoría de conjuntos, en el que sistematiza estas ideas. (Cherubine,2015).
- Durante los primeros años del siglo XX, coexisten diferentes visiones de la
matemática que implican distintos métodos lógicos. Se trata de
fundamentar a la matemática como unidad. La fundamentación como una
visión totalizante que intenta racionalizar y justificar una praxis de hacer
global. (Cherubine,2015).
- Alfred North Whitehead (1861-1947), publican Principia Mathematica en
tres volúmenes en 1910, 1912, 1913. Los objetos matemáticos son objetos
puramente lógicos y los principios matemáticos son leyes lógicas o
derivados de leyes lógicas. (Cherubine,2015).
- Durante los primeros años del siglo XX, coexisten diferentes visiones de la
matemática que implican distintos métodos lógicos. Se trata de
fundamentar a la matemática como unidad. La fundamentación como una
visión totalizante que intenta racionalizar y justificar una praxis de hacer
global. (Cherubine,2015).
- Karl Weierstrass (1815-1897) y el firme rechazo por parte de Leopold
Kronecker (1823-1891), Cantor sigue con la publicación de sus artículos
en el Journal de Crelle y en Mathematische Annalen, hasta que,
finalmente, entre 1895 y 1897, publica su tratado en dos volúmenes de
teoría de conjuntos, en el que sistematiza estas ideas. (Cherubine,2015).
- se ubica en la línea de pensamiento de Kant. Sostiene que la matemática es una
creación de la mente humana y que la intuición matemática tiene plena certeza
sobre la solidez del sistema de los números naturales (Ruiz, 2012).
- El logicismo:
- A finales del siglo XIX y principios del siglo XX surgieron algunos matemáticos
quienes pretendieron no solo fortalecer la lógica sino replantear radicalmente
la cuestión ontológica y examinar el significado de “existencia” en
matemáticas. Y con ellos aparecen diferentes posiciones que podrían agruparse
en tres tendencias: (Cherubine, 2015)
- integración complementaria
entre el formalismo y el
intuicionismo:
- La aproximación entre la tendencia formalista proclamada por David Hilbert y el
intuicionismo liderado por Luitzen Brouwer, es esbozada por Hermann Klaus Hugo Weyl
(1885-1955) en un artículo filosófico alrededor de 1920, en el cual Weyl apunta proveer con
un sentido a todo el sistema matemático, esto es, la matemática como totalidad,
incluyendo a la matemática transfinita, la cual es imposible entender intuitivamente y es
llamada por Weyl: matemática teórica. Según Weyl esta parte trascendente de la
matemática puede solamente ser representada por medio de símbolos.
- La aproximación entre la tendencia formalista proclamada por David Hilbert y el
intuicionismo liderado por Luitzen Brouwer, es esbozada por Hermann Klaus Hugo Weyl
(1885-1955) en un artículo filosófico alrededor de 1920, en el cual Weyl apunta proveer con
un sentido a todo el sistema matemático, esto es, la matemática como totalidad,
incluyendo a la matemática transfinita, la cual es imposible entender intuitivamente y es
llamada por Weyl: matemática teórica. Según Weyl esta parte trascendente de la
matemática puede solamente ser representada por medio de símbolos.
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