Ciclo Trigonométrico; José Daniel 2ºC

Ciclo Trigonométrico; José Daniel 2ºC

1. Elementos relacionados a uma circunferência

   • Arcos: dois pontos, A e B, denominados na circunferência, com extremidades A e B.
   • Corda: qualquer segmento que irá ligar dois pontos. Inclusive o diâmetro é um tipo de corda.
   • Flecha: segmento entre corda e arco; é perpendicular à corda. O raio pode ser uma flecha caso a corda seja o diâmetro.
   • Observações
     • Quando um arco AB se coincide, se tem um arco nulo ou um arco de uma de volta.
     • O comprimento de uma circunferência é dado 2πR.
     • O comprimento do Arco pode ser obtido através de uma regra de três, dado o valor do seu ângulo central.
       • 2πR ---> 360º Comprimento AB --> α

2. Unidades de medida de um ângulo

   • Existem duas unidades de medida para os ângulos, o mais famoso, graus, e o radiano.
     • Grau
       • É como se a circunferência fosse dividida em 360 partes iguais. Dessa forma, cada grau significa 1/360º da circunferência.
         • O grau ainda pode ser subdividido, vamos chamar de minutos e segundos. Cada grau corresponde a 60 minutos e cada minuto corresponde a 60 segundos.
           • 1º = 60' 1' = 60"
     • Radiano
       • Existem duas vertentes para a medida em radiano, a meida angular e a linear.
         • A medida angular do radiano diz que a medida do ângulo central cujo o arco correspondente tem comprimento corresponde ao raio da circunferência.
           • A medida angular de uma volta na circunferência é igual a 2π RAD. Ou seja, 1π RAD=180º
         • Na medida linear, como cada comprimento R representa 1 radiano, então uma volta completa será também 2π RAD.
   • Para descobrir uma medida radiana em graus e vice-versa, é simples! Como sabemos que 1π RAD = 180º, basta fazer uma regra de três simples.
     • π RAD --> 180º; x RAD --> yº

3. Ciclo trigonométrico

   • Circunferência orientada
     • É quando for determinado A como um dos pontos do arco, e em um sentido da circunferência vai ser positiva(sentido anti-horário) e a outra negativa(sentido horário).
   • Ciclo trigonométrico
     • É uma circunferência orientada, com sua origem no centro de um plano cartesiano, e o raio possuindo uma única unidade de comprimento.
       • No plano cartesiano, estabelecido, cada ponto P possui uma coordenada (X1,Y1), que será determinada por X1=cos X e Y1=sen X.
   • Sinal do Seno e Cosseno
     • O plano cartesiano possui convenção de sinais de acordo com o quadrante que o seno e cosseno vão estar.

4. Simetrias no plano cartesiano

   • O plano cartesiano possui 3 grandes simetrias: uma em relação ao eixo das abscissas, uma em relação ao eixo das ordenadas e uma em relação a origem do plano.
   • Quando as simetrias são aplicadas no círculo trigonométrico, elas são chamadas de redução ao primeiro quadrante; e são usadas para determinar valores trigonométricos fora do primeiro quadrante.
     • Redução do segundo para primeiro quadrante: Com um arco AP, de medida β com P no segundo quadrante, é associado um arco AP1 de medida α . Onde o P1(primeiro quadrante) é simétrico a P (quadrante dois). Logo, β e α são suplementares.
       • Propriedades: I: senβ = senα = sen(π-β); II: cosβ = -cosα = -cos(π-β )
     • Redução do terceiro para primeiro quadrante: Com um arco AP, de medida β com P no terceiro quadrante, é associado um arco AP1 de medida α. Onde o P1 (terceiro quadrante) é simétrico a P(primeiro quadrante). Dessa forma, o ângulo β é a soma de π com α.
       • Propriedades: I: sen b= -sen α= -sen (β - π ); II: cos b= -cos α= -cos(β -π )
     • Redução do quarto para primeiro quadrante: Com um arco AP, de medida β com P no quarto quadrante, é associado um arco AP1 de medida α; Onde o P1 (quarto quadrante) é simétrico a P(primeiro quadrante). Dessa forma, o ângulo β é replemento do ângulo α.
       • Propriedades: I: sen β = -sen α= -sen(2π -β ); II: cos β = -cos α= -cos(2π -β ).

5. Valores notáveis do ciclo trigonométrico

   • No ciclo trigonométrico também existem valores notáveis, mas diferentemente do triângulo retângulo, onde eram 30º, 45º e 60º, na circunferência trigonométrica, vão existir mais valores notáveis.

6. Eixo das tangentes

   • Considere um arco AP na primeira volta do círculo trigonométrico, tendo A como origrm do arco e uma reta t paralela ao eixo dos senos (abscissa). A projeção de um ponto P em relação a origem do sistema cartesiano marca na reta t, o ponto P1. A tangente é portanto o valor relativo no qual o ponto P1 se encontra.
   • Sinal da tangente
     • Do mesmo jeito que o seno e o cosseno, a tangente também vai variar o sinal dependendo do quadrante.

7. Relações trigonométricas

   • Às vezes é usado para determinar algumas medidas desconhecidas na solução de problemas.
     • Secante
       • sec α= 1/cosα
     • Cossecante
       • cossec α= 1/senα
     • Cotangente
       • cotg α= 1/tgα

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