Geometria espacial by Felipe

Geometria espacial by Felipe

1. Características da Geometria Espacial

   • A Geometria Espacial estuda os objetos que possuem mais de uma dimensão e ocupam lugar no espaço. Por sua vez, esses objetos são conhecidos como "sólidos geométricos" ou "figuras geométricas espaciais"
     • At = Área total V = volume
       • Prisma
         • V = Ab. h At = 2Ab+ Al
       • Pirâmide
         • At= Ab+ Al
       • Cubo
         • V = a3 At = 6 . a2
       • Cone
         • At= πr (g + r)
       • Esfera
         • At= 4 πr2
       • Paralelepípedo
         • V = a . b . c At = 2ab + 2ac + 2bc
       • Cilindro
         • V = πr2. h At= 2πr (r+h)

2. corresponde a área da matemática que se encarrega de estudar as figuras no espaço, ou seja, aquelas que possuem mais de duas dimensões

   • Conceitos da geometria espacial
     • É importante compreendermos que os elementos primitivos ponto, reta, plano e espaço são a base da geometria
       • Os conceitos iniciais da geometria espacial são as posições relativas entre pontos no plano, entre ponto e plano, entre reta e plano, e entre dois planos
         • Posição relativa entre ponto e reta, e ponto e plano
           • O ponto pode pertencer ou não à reta, e ele pode pertencer ou não ao plano
         • Posição relativa entre pontos
           • Conhecendo dois ou mais pontos, eles podem ser colineares ou não, e coplanares ou não. Os pontos são coplanares quando pertencem ao mesmo plano, e colineares quando pertencem a uma mesma reta
         • Posição relativa entre uma reta e um plano
           • Ao comparar-se a reta com um plano, essa reta pode ser paralela ao plano, pertencente ao plano ou secante ao plano
             • Reta secante ao plano: quando ela corta o plano e possui um único ponto em comum a ele
             • Reta pertencente ao plano: quando todos os pontos da reta estão contidos no plano
             • Reta paralela ao plano: quando não possui nenhum ponto em comum ao plano
         • Posição relativa entre duas retas
           • Quando as retas são coplanares, elas podem ser paralelas, concorrentes e coincidentes.
             • Paralelas: quando não possuem nenhum ponto em comum
             • Concorrentes: quando possuem um ponto em comum
             • Coincidentes: quando as retas são iguais, ou seja, há só uma reta
               • Quando as retas não pertencem ao mesmo plano, elas são conhecidas como retas reversas
         • Posições relativas entre dois planos
           • Planos paralelos: não possuem nenhum elemento em comum, ou seja, não há interceptação de um plano com o outro
           • Planos secantes: quando se interceptam
           • Planos coincidentes: quando são iguais, ou seja, há somente um plano

3. Classificação dos sólidos geométricos

   • Os sólidos geométricos podem ser classificados como poliedros
     • Sólidos fechados que possuem faces poligonais, compostos por vértices, arestas e faces, são eles: os prismas, as pirâmides e os sólidos de Platão
       • Aresta: é o segmento de reta que liga dois vértices de um poliedro
       • Vértice: é o encontro de uma ou mais arestas
       • Face:as faces de um poliedro são os polígonos que compõem o sólido

4. Relação de Euler

   • Sobre os poliedros, o matemático Euler percebeu uma relação entre o número de vértices (V), faces (F) e arestas (A), conhecida como relação de Euler, dada pela expressão:
     • V – A + F = 2
       • Logo, é possível descobrir, com base na equação, a quantidade de arestas que um sólido possui pelo número de faces e de vértices
   • Sólidos de Platão
     • Os sólidos de Platão são casos particulares de poliedros, Platão relacionou-os com a criação do Universo, vinculando-os a elementos da natureza
       • Icosaedro
       • Dodecaedro
       • Cubo
       • Octaedro
       • Tetraedro
   • Corpos redondos
     • Conhecidos também como sólidos de revolução, são sólidos que possuem como base um círculo ou que são construídos sobre a rotação de um círculo
       • Cilindro
       • Esfera
       • Cone

5. Projeções ortogonais

   • A projeção ortogonal das figuras geométricas sobre um plano pode ser comparada à sombra desse mesmo objeto no horário em que o sol está mais alto no dia. Nesse horário, a sombra possui dimensões iguais às do objeto, mas não possui profundidade alguma
     • Projeção de uma figura sobre o plano
       • A projeção ortogonal de uma figura geométrica qualquer sobre o plano é o conjunto das projeções ortogonais de seus pontos sobre o plano. Sendo assim, cada ponto dessa figura representa a extremidade de um segmento de reta. A outra extremidade está no plano, e a figura formada por todas essas últimas é a projeção ortogonal da figura geométrica
     • Projeção do segmento de reta sobre o plano
       • A figura formada pela projeção ortogonal de um segmento de reta sobre o plano é outro segmento de reta. Essa projeção é definida como o segmento de reta cujas extremidades são as projeções ortogonais dos pontos extremos do segmento de reta inicial
         • Os segmentos de reta também possuem uma particularidade: se o segmento for perpendicular ao plano, sua projeção ortogonal será apenas um ponto
     • Projeção da reta sobre o plano
       • A figura formada pela projeção ortogonal de uma reta r sobre o plano é outra reta s. Essa projeção é definida como a intersecção entre o plano que contém a reta r e o plano que contém a reta s quando os dois são perpendiculares
         • No caso particular em que a reta r já é perpendicular ao plano, a sua projeção sobre esse plano é apenas um ponto
     • Projeção do ponto sobre o plano
       • A figura formada pela projeção ortogonal de um ponto P sobre o plano é o ponto P'. Essa projeção é definida como a extremidade do segmento de reta perpendicular ao plano cuja outra extremidade seja o ponto P.