Análise Combinatória

Análise Combinatória

1. Princípio Fundamental da Contagem: Se um experimento é composto por eventos A, B, C, ..., Z e cada evento pode ter nA, nB, nC, ..., nZ, resultados diferentes, então o total de resultados possíveis (sequências de resultados dos eventos) para o experimento é dado por: nA . nB . nC.....nZ

2. Seja n um número natural maior ou igual a 2. Então definimos o fatorial de n como: n!=n. (n-1) . (n-2) ... 1 Define-se ainda: 0!=1; 1!=1.

3. Em diversos problemas queremos descobrir os diferentes resultados possíveis para um experimento referente a um único evento ou ação, que tem n resultados possíveis, porém repetido k vezes (Ex: jogar uma moeda, que tem 2 resultados possíveis, por 5 vezes consecutivas). Se a ordem dos resultados IMPORTA, chamamos as sequências de resultados de ARRANJOS. Se a ordem NÃO IMPORTA, chamamos as sequências de resultados de COMBINAÇÕES. Os arranjos, portanto, são as sequências de resultados onde a ordem importa. Por exemplo, um resultado do tipo ABC é diferente de um resultado do tipo ACB. Considerando que possa haver repetição nos resultados, o número total de arranjos de n elementos com k elementos em cada sequência (arranjo de n elementos tomados K a K) é dado por: A{n,k}= n^k Obs: esta fórmula só é válida quando pode haver repetição de elementos.

4. Considerando agora que não possa haver repetição de elementos nos resultados, ou seja, em cada realização do evento, eliminamos o resultado obtido no evento anterior (Ex: retirar 3 bolas numeradas de uma urna sem reposição), o número total de arranjos de n elementos com K elementos em cada sequência (arranjo de n elementos tomados K a K) é dado por: A{n,k}=n!/(n-k)! Obs: esta fórmula só é válida quando não há repetição de elementos.

5. As permutações são um tipo específico de arranjos, quando: não há repetição, e o número de elementos a serem tomados para compor o resultado é igual ao número de elementos existentes no conjunto. Em outras palavras, as permutações são os arranjos de n elementos tomados n a n. Portanto: Pn=A{n,n}=n!/(n-n)!=n!/0!=n! Pn=n!

6. Se tivermos elementos repetidos na permutação, calculamos a quantidade de permutações como : Pn^n1,n2,n3,...,nr=n!/n1! . n2! . n3! ... nr!

   • As combinações são como arranjos, porém a ordem dos elementos que compões um resultado não importa, ou seja, um resultado ABC é considerado igual a um resultado ACB. Neste caso, fala-se das combinações de n elementos tomados K a K, e esta quantidade é calculada como: C n,k=n!/(n-k)! . k!}