Geometria Espacial

Geometria Espacial

1. Ideias Gerais

   • Ponto
     • Não tem massa, dimensão ou volume
   • Reta
     • Não tem espessura, começo ou fim
   • Plano
     • Não tem espessura nem fronteiras
   • Espaço
     • Conjunto dos pontos existentes
   • Figura
     • Conjunto de pontos, com pelo menos um no espaço
     • Tipos: Planas e não planas
   • Postulados
     • - O espaço tem infinitos pontos.
       • Toda reta e plano são conjuntos de infinitos pontos.
       • Dois pontos determinam uma reta.
         • Postulado de Euclides: Por um P fora de uma reta r passa somente uma reta s paralela a r
           • Três pontos não colineares determinam um único plano
         • Se dois pontos distintos estão em um plano, a reta que passa por eles está contida nesse plano
           • Se dois planos distintos, a e b, se interceptam, a intersecção é uma reta
   • Colineares
     • Dois ou mais pontos que estão presentes em uma reta.

2. Posições Relativas

   • Retas paralelas
     • Se têm todos os pontos comuns ou se estão no mesmo plano e não possuem ponto ecomum.
       • Duas retas paralelas não coincidentes determinam um único plano.
   • Retas concorrentes
     • Quando têm apenas um ponto P comum.
   • Retas reversas
     • Quando não existe um mesmo plano que as contenha.
   • Reta e planos paralelos
     • Uma reta e um plano a são paralelos se a reta r está contida no plano a ou se a reta r e o plano a não têm nenhum ponto comum.
   • Reta e plano concorrente
     • Quando uma reta r e um plano a tem somentes um ponto em comum.
   • Planos paralelos
     • Quando se coincidem ou se não têm nenhum ponto comum.
   • Planos secantes
     • Quando têm uma reta em comum.

3. Perpendicularidade

   • Retas perpendiculares
     • Quando são concorrentes e determinam 4 ângulos retos.
   • Retas ortogonais
     • Quando existe uma reta t que é paralela a s e perpendicular a r
   • Reta e plano perpendiculares
     • Quando r é perpendicular a todas as retas de a que passam por P.
     • Se uma reta perpendicular a duas retas concorrentes, s e t, estão r é perpendicular ao plano determinado por essas retas.
   • Planos perpendiculares
     • Quando um deles contém uma reta r perpendicular ao outro plano
   • Propriedades: 1- Por um ponto P de uma reta r passa somente um plano a perpendicular a essa reta; 2- Se uma reta r é perpendicular a um plano a, então toda reta paralela a r é perpendicular ao plano a e todo plano paralelo a a é perpendicular a r.
     • 3- Duas retas perpendiculares a um mesmo plano são paralelas. Dois planos perpendiculares a uma mesma reta são paralelos; 4- Se uma reta r e um plano a são perpendiculares a um plano b, então a reta r é paralela a a ou r c a; 5- Se os planos a e b são concorrentes e y é um plano perpendicular a a e a b, então y é perpendicular à reta de intersecção entre a e b.

4. Projeção Ortogonal

   • De um ponto sobre uma reta
     • A projeção é o ponto P´ que é a intersecção de r com a reta perpendicular a r que passa por P.
   • De um ponto sobre um plano
     • Projeção de A no plano a é A´, que é a intersecção da reta que passa por A e é perpendicular a a
   • De uma figura qualquer sobre o plano
     • A projeção de uma figura, plana ou não plana, sobre um plano é a figura formada pelas projeções ortogonais dos pontos dessa figura sobre esse plano.

5. Distâncias

   • Entre dois pontos
     • Se A e B são dois pontos do espaço, a distância entre eles é a medida do segmento de reta AB, em certa unidade de medida.
   • Entre um ponto e uma reta
     • A distância entre um ponto P e uma reta r é a distância entre P e sua projeção ortogonal P´ sobre r.
   • Entre um ponto e um plano
     • A distância entre um ponto A e um plano a é a distãncia entre o ponto A e sua projeção ortogonal A´ sobre a.
   • Entre uma reta e um plano paralelos
     • A distância entre a reta r e o plano a é a distância entre um ponto A qualquer de r e o plano a.
   • Entre dois planos distintos e paralelos
     • Dados dois planos distintos e paralelos, a e b, a distância entre eles é a distância entre qualquer ponto de a e o plano b ou vice-versa.
   • Entre duas retas reversas
     • Entre qualquer ponto de r e o plano que contém s e é paralelo a r ou vice-versa

6. Ângulos

   • Entre retas
     • Medida igual a 0 graus
   • Entre duas retas reversas
     • È o ângulo formado entre r e s´, sendo s´ uma reta paralela a s e concorrente com r.
   • Entre uma reta e um plano
     • Se r não é perpendicular, a medida do ângulo é r por r´, sendo r´a projeção ortogonal de r sobre a . Se r é perpendicular ao plano a, a medida é de 90 graus.