Conjuntos numéricos e números complexos

Conjuntos numéricos e números complexos

1. Os conjuntos numéricos reúnem diversos conjuntos cujos elementos são números. Eles são formados pelos números naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais. O ramo da matemática que estuda os conjuntos numéricos é a Teoria dos conjuntos.

2. Números Racionais

   • Números racionais são os números que podem ser representados por frações de números inteiros, contanto que o denominador seja qualquer número diferente de zero (0). Eles também são formados por elementos pertencentes aos conjuntos dos Números Reais (R), e Números Irracionais (I).
   • Representação do Conjunto
   • Observe que o conjunto dos números racionais, representado por reto números racionais, contém o conjunto dos números inteiros, que por sua vez contém o conjunto dos números naturais, ou seja, reto números naturais subconjunto reto números inteiros subconjunto reto números racionais.

3. Números Naturais

   • Os Números Naturais N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12...} são números inteiros positivos (não-negativos) que se agrupam num conjunto chamado de N, composto de um número ilimitado de elementos. Se um número é inteiro e positivo, podemos dizer que é um número natural.
   • O conjunto dos números naturais é formado por todos os números inteiros não negativos. Em outras palavras, todo número que é inteiro e positivo é natural, além disso, como o zero é inteiro, mas não é negativo, ele também é um número natural.

4. Números Inteiros

   • Os número inteiros correspondem aos números positivos, negativos e o 0 (zero). Eles formam um conjunto numérico representado pela letra Z, em referência a palavra alemã Zahlen (números ou algarismos), Z = {...-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4...}.
   • Não pertencem aos números inteiros: as frações, números decimais, os números irracionais e os complexos.

5. Números Reais

   • Chamamos de Números Reais o conjunto de elementos, representado pela letra maiúscula R, que inclui os:
     • Números Naturais (N): N = {0, 1, 2, 3, 4, 5,...}
     • Números Inteiros (Z): Z= {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}
     • Números Racionais (Q): Q = {...,1/2, 3/4, –5/4...}
     • Números Irracionais (I): I = {...,√2, √3,√7, 3,141592....}
   • Para representar a união dos conjuntos, utiliza-se a expressão: R = N U Z U Q U I ou R = Q U I
     • R: Números Reais N: Números Naturais U: União Z: Números Inteiros Q: Números Racionais I: Números Irracionais
       • • O Conjunto dos Números Inteiros (Z) inclui os Números Naturais (N); em outras palavras, todo número natural é um número inteiro, ou seja, N está contido em Z
         • O conjunto dos números Racionais (Q) é formado pelo conjuntos dos Números Naturais (N) e dos Números Inteiros (Z). Por isso, todo Número Inteiro (Z) é Racional (Q), ou seja, Z está contido em Q.
         • O conjunto dos números Reais (R) engloba 4 conjuntos de números: Naturais (N), Inteiros (Z), Racionais (Q) e Irracionais (I)

6. Números Irracionais

   • Interessante notar que a descoberta dos números irracionais foi considerada um marco nos estudos da geometria. Isso porque preencheu lacunas, como por exemplo, a medida da diagonal de um quadrado de lado igual a 1.
     • Como a diagonal divide o quadrado em dois triângulos retângulos, podemos calcular essa medida usando o Teorema de Pitágoras.
       • • Com vimos, a medida da diagonal desse quadrado será √2. O problema é que o resultado desta raiz é um número decimal infinito e não periódico.
           • Por mais que tentemos encontrar um valor exato, só conseguimos aproximações deste valor. Considerando 12 casas decimais essa raiz pode ser escrita como: √2 = 1,414213562373....
   • Os Números Irracionais são números decimais, infinitos e não-periódicos e não podem ser representados por meio de frações irredutíveis.
   • Alguns exemplos de irracionais: √3 = 1,732050807568.... √5 = 2,236067977499... √7 = 2,645751311064...

7. Números Complexos

   • Vamos considerar a equação x² - 2x + 5 = 0:
   • Sabemos que o número não pertence ao conjunto dos números reais, pois não existe nenhum número que elevado ao quadrado resulte em -1. Para que a equação acima tenha solução, temos que estender o conjunto dos números reais para obter um novo conjunto, chamado de conjunto dos números complexos e representado por . O número foi denominado unidade imaginária e criou-se o número i, de modo que:
     • i² = -1
     • i = √(-1)
     • Portanto, as soluções da equação x² - 2x + 5 = 0 em são 1 - 2i e 1 + 2i.

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