Probabilidade e Análise Combinatória

Probabilidade e Análise Combinatória

1. Probabilidade

   • A probabilidade é o estudo de experimentos aleatórios, ou seja, um experimento repetido no qual não é possível prever o resultado.
     • Entendemos por experimento aleatório os fenômenos que, quando repetidos inúmeras vezes em processos semelhantes, possuem resultados imprevisíveis.
       • Espaço amostral é o conjunto estabelecido por todos os possíveis resultados de um experimento. Por exemplo, no lançamento de uma moeda, o espaço amostral é dado por “cara” ou “coroa”.
         • O evento é um subconjunto de um espaço amostral que pode ser o próprio espaço amostral, uma parte desse espaço, ou um conjunto vazio.
           • Um evento impossível é a aquele em que a possibilidade de se obter um resultado é 0. Isso é sempre representado por E= { }
             • Um evento é chamado de certo, quando ele é igual ao espaço amostral. Por exemplo, qual é a probabilidade de sair um número ao lançarmos um dado? Ela é 100%, pois sempre sairá um número.
               • O diagrama de Venn-Euler, é uma maneira de representar graficamente um conjunto, para isso utilizamos uma linha fechada que não possui auto-intersecção e representamos os elementos do conjunto no interior dessa linha.
                 • utilizando o diagrama de Venn, os conjuntos A = {a, b, c, d, e, f} e B = {d, e f, g, h, i}. Observe que a intersecção é a parte do diagrama que pertence aos dois conjuntos, assim como na definição. A ∩ B = {d, e, f}
                   • O estudo da probabilidade está intimamente relacionado com o estudo da análise combinatória. Em alguns problemas da probabilidade, é necessário determinar-se o espaço amostral, que consiste em um conjunto formado por todos os possíveis resultados de um determinado evento.
               • Por exemplo: Qual a probabilidade de, no lançamento de dois dados, obtermos como resultado a soma 7? A = Soma 7 S={ (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6) (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6) (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6) (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6) (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6) (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6) } E={ (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) } n(A)= 6 P(A)= 6/36 = 1/6
     • no lançamento de um dado, um número par pode ocorrer de 3 maneiras diferentes dentre 6 igualmente prováveis, portanto, P = 3/6= 1/2 = 50%.

2. Análise Combinatória

   • È a parte da Matemática que estuda métodos e técnicas que permitem resolver problemas relacionados com contagem. Ela faz análise das possibilidades e das combinações possíveis entre um conjunto de elementos.
     • O princípio fundamental da contagem é um evento composto por n etapas sucessivas e independentes, de tal modo que as possibilidades da primeira etapa é x e as possibilidades da segunda etapa é y, resulta no número total de possibilidades de o evento ocorrer, dado pelo produto (x) . (y).
       • Nos arranjos, os agrupamentos dos elementos dependem da ordem e da natureza dos mesmos. Para obter o arranjo simples de n elementos tomados, p a p (p ≤ n), utiliza-se a seguinte expressão: An,p= n!/(n-p)!
         • As combinações são subconjuntos em que a ordem dos elementos não é importante, entretanto, são caracterizadas pela natureza dos mesmos.
           • permutação simples é se o conjunto permutado não contém elementos repetidos. Por exemplo, o conjunto A = {B, C, D} não contém elementos repetidos e gera as seguintes permutações: BCD, BDC, CBD, CDB, DBC, DCB.
             • Caso existam elementos repetidos, com a fórmula da permutação simples contaríamos vários casos algumas vezes. Por exemplo, na palavra ARAME, se trocássemos as letras A de lugar, formaríamos a mesma palavra. E pela fórmula de permutação simples, teríamos contado ARAME duas vezes.
               • No arranjo a ordem dos objetos é muito importante, ou seja, os objetos devem obedecer uma ordem estipulada. Em contrapartida, no caso de uma combinação, a ordem não tem importância nenhuma.
                 • Exemplo Arranjo
                   • Um número de telefone é formado por 9 algarismos, de 0 a 9. Sendo assim, quantos números de telefone diferentes nós podemos ter?
                 • Exemplo de Combinação
                   • Entre um grupo com 10 alunos, o professor deve escolher 3 para fazer uma apresentação. Determine de quantos modos diferentes o professor poderá escolher esses alunos.
                 • Veja que para o estudo da probabilidade é necessário ter-se um conhecimento básico de análise combinatória, pois, sem determinarmos o espaço amostral de um experimento, é impossível resolvermos a grande maioria dos exercícios de probabilidade.