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Description
Clases de Cadenas
de Markov
- Cadenas
irreducibles
- Se dice irreducible si se
cumple cualquiera de las
siguientes condiciones
(equivalentes entre sí):
- 1. Desde cualquier
estado de E se
puede acceder a
cualquier otro.
- 2. Todos los
estados se
comunican
entre sí.
- 3. C(x)=E
para algún
x∈E.
- 4. C(x)=E
para todo
x∈E.
- 5. El único
conjunto
cerrado es
el total.
- 1. Desde cualquier
estado de E se
puede acceder a
cualquier otro.
- Se dice irreducible si se
cumple cualquiera de las
siguientes condiciones
(equivalentes entre sí):
- Cadenas
regulares
- Se dice regular (también primitiva o ergódica)
si existe alguna potencia positiva de la matriz
de transición cuyas entradas sean todas
estrictamente mayores que cero. Cuando el
espacio de estados E es finito, si P denota la
matriz de transición de la cadena se tiene que:
donde W es una matriz con todos sus renglones
iguales a un mismo vector de probabilidad w,
que resulta ser el vector de probabilidad
invariante de la cadena. En el caso de cadenas
regulares, éste vector invariante es único.
- Se dice regular (también primitiva o ergódica)
si existe alguna potencia positiva de la matriz
de transición cuyas entradas sean todas
estrictamente mayores que cero. Cuando el
espacio de estados E es finito, si P denota la
matriz de transición de la cadena se tiene que:
donde W es una matriz con todos sus renglones
iguales a un mismo vector de probabilidad w,
que resulta ser el vector de probabilidad
invariante de la cadena. En el caso de cadenas
regulares, éste vector invariante es único.
- Cadenas
positivo-recurrentes
- Una cadena de Márkov se dice
positivo-recurrente si todos sus
estados son positivo-recurrentes.
Si la cadena es además irreducible
es posible demostrar que existe un
único vector de probabilidad
invariante y está dado por:
- Una cadena de Márkov se dice
positivo-recurrente si todos sus
estados son positivo-recurrentes.
Si la cadena es además irreducible
es posible demostrar que existe un
único vector de probabilidad
invariante y está dado por:
- Cadenas
absorbentes
- Se dice absorbente si se cumplen las dos
condiciones siguientes: La cadena tiene al menos
un estado absorbente. De cualquier estado no
absorbente se accede a algún estado absorbente.
Si denotamos como A al conjunto de todos los
estados absorbentes y a su complemento como D,
tenemos los siguientes resultados: *Su matriz de
transición siempre se puede llevar a una de la
forma donde la submatriz Q corresponde a los
estados del conjunto D, I es la matriz identidad, 0
es la matriz nula y R alguna submatriz esto es, no
importa en donde se encuentre la cadena,
eventualmente terminará en un estado
absorbente.
- Se dice absorbente si se cumplen las dos
condiciones siguientes: La cadena tiene al menos
un estado absorbente. De cualquier estado no
absorbente se accede a algún estado absorbente.
Si denotamos como A al conjunto de todos los
estados absorbentes y a su complemento como D,
tenemos los siguientes resultados: *Su matriz de
transición siempre se puede llevar a una de la
forma donde la submatriz Q corresponde a los
estados del conjunto D, I es la matriz identidad, 0
es la matriz nula y R alguna submatriz esto es, no
importa en donde se encuentre la cadena,
eventualmente terminará en un estado
absorbente.
- Cadenas en
tiempo continuo
- Si en lugar de considerar una secuencia discreta X1, X2,..., Xi,.. con i
indexado en el conjunto N de números naturales, se consideran las
variables aleatorias Xt con t que varía en un intervalo continuo del
conjunto R de números reales, tendremos una cadena en tiempo
continuo.
- Si en lugar de considerar una secuencia discreta X1, X2,..., Xi,.. con i
indexado en el conjunto N de números naturales, se consideran las
variables aleatorias Xt con t que varía en un intervalo continuo del
conjunto R de números reales, tendremos una cadena en tiempo
continuo.
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