Análise Combinatória

Análise Combinatória

1. Fatorial

   • O fatorial de um número natural n > é indicado por n! e definido como sendo o produto de n por todos os números naturais positivos que o antecedem. n!= n . (n-1) . (n-2) . ... .1 Valido para qualquer número natural maior que 1. fatorial de 1!=1 e de 0!=1

2. Permutações

   • Permutações Simples
     • O número de permutaçõessimples de n elementos distintos é indicado por Pn e dado por Pn=n!
   • Permutações com Repetição
     • O número de permutações de n elementos tais que um ou mais deles são repetidos é indicado por Pn a,b,... é dado por Pn a,b,...=n! / α! β! . ... Na indicação Pn a,b, ...,α ,β , e assim por diante representam as quantidades de vezes em que os elementos repetidos aparencem.
   • Permutações Circulares
     • O número de maneiras de ordenar os n elementos em uma fila é Pn=n!. Existem n permutações simples que geram a mesma permutação circular, pois todas podem coincidir por meio de uma rotação. Portanto, para obter o número de permutações circulares dos n elementos, que indicamos por (PC)n, dividimos o número de permutações simples poe n (PC)n= Pn / n = n! / n =n . (n - 1)! /n (PC)n =(n - 1)!

3. Combinações Simples

   • Quando escolhesmos p elementos entre os n disponíveis, formamos dois grupos: um com os p elementos escolhidos e outro os n-p elementos não escolhidos. O número de maneiras de ordenar os n elementos é n!. os números de maneiras de ordenar os elementos em cada um dos grupos são p! e (n-p)!. Como trocas dentro de um mesmo grupo geram divisões idênticas, o número de combinações simples de n elementos tomadoas p a p é dado por Cn,p = n! / p! (n – p)!

4. Arranjos Simples

   • Quando escolhemos p elementos entre os n disponíveis e, em seguida, ordenamos esses p elementos, formamosum arranjo simples dos n elementos tomados por p a p. O número de maneiras de escolher p dos n elementos é cn,p. O número de maneiras de ordenar os p elementos escolhidos é p!. Portanto, o número de arranjos simples de n elementos tomados p a p é dado por: An,p= n! / (n-p)!

5. Binômio de Newton

   • Triângulo de Pascal
     • é um triângulo aritmético infinito onde são dispostos os coeficientes das expansões binominais. Os números que compõem o triângulo apresentam diversas propriedades e relações.
   • Fórmula do Binômio de Newton
     • (x + y)n = Cn0 y0 xn + Cn1 y1 xn - 1+ Cn2 y2 xn - 2 +... + Cnn yn x0
   • Termo Geral do Binômio de Newton
     • Tp+1= Cnp . x n-p . y p

6. Princípio Fundamental da Contagem

   • Se existem x maneiras de se tomar uma decisão D1 e, para cada uma delas, y maneiras de se tomar uma decisão D2, então o número de maneiras de tomarmos sucessivamente as decisões D1 e D2 é dado por x . y. Esse é o preincípio fundamental da contagem e é válido para qualquer número de decisões sucessivas.