Análise Combinatória

Análise Combinatória

1. Parte da matemática que estuda métodos e técnicas que permitem resolver problemas relacionados com contagem.

2. Princípio fundamental da contagem: se um evento é composto por duas ou mais etapas sucessivas e independentes, o número de combinações será determinado pelo produto entre as possibilidades de cada conjunto.

3. Fatorial: o fatorial de um número natural n>1 é indicado por n! e definido como sendo o produto de n por todos os números naturais positivos que o antecedem.

   • Quando n for igual ou menor que 1: 1!=1 e 0!=1
   • Exemplo: 5!= 5.4.3.2.1=120

4. Permutações: tendo uma sequência ordenada qualquer com um número n de elementos distintos, qualquer outra sequência formada pelos mesmos n elementos reordenados é chamada de permutação.

   • Permutações simples: quando todos os elementos permutados são distintos.
     • Exemplo: palavra "amor"= P4 (4.3.2.1)
   • Permutações com repetição: quando um ou mais elementos permutados são repetidos.
     • Exemplo: palavra "arara"= P5/P2.P3 (5.4.3.2.1/2.1.3.2.1); a P2 é a quantidade de "R" e a P3, de "A".
   • Permutações circulares: quando os elementos estão dispostos ao redor de um círculo.
     • PCn= (n-1)!

5. Combinações simples: combinações que podem ser feitas entre elementos que são escolhidos dentro de um grupo de elementos disponíveis.

   • Combinação de n tomados p a p= n!/p!.(n-p)!
     • Exemplo: Combinação de 5 tomados 2 a 2 = 5!/2!.(5-2)! =10.
       • Combinação de 8 tomados 3 a 3 = Combinção de 8 tomados 5 a 5, pois 3+5=8.
         • Combinação de 30 tomados 30 a 30=1 (quando n for igual a p, o resultado será 1)

6. Arranjos simples: quando são escolhidos p elementos entre os n disponíveis e, em seguida, são ordenados esses p elementos.

   • Arranjo de n tomados p a p = n!/(n-p)!
     • Exemplo: arranjo de 10 tomados 3 a 3 = 10!/(10-3)! = 720

7. Binômio de Newton: qualquer binômio elevado a um número n em que n é um número natural. (x+y) elevado a n.

   • Exemplo: (x+y) elevado a 3 = (x+y).(x+y).(x+y) = x ao cubo + 3x ao quadrado . y + 3xy ao quadrado + y ao cubo.
   • Fórmula do Binômio de Newton: (x+y) elevado a n = x elevado a n + C de n tomados 1 a 1 . x elevado a n-1 . y elevado a 1 + C de n tomados 2 a 2 . x elevado a n-2 . y ao quadrado + ... + y elevado a n
   • Termo geral do Binômio de Newton: T p+1 = C de n tomados p a p . x elevado a n-p . y elevado a p

8. Triângulo de Pascal: é formado pelos valores de combinação de n tomados p a p organizados em linhas e colunas.

   • Todas as combinações de uma linha têm o mesmo valor de n e todas as combinações de uma coluna, o mesmo valor de p.