Análise combinatória

Análise combinatória

1. Princípio Fundamental da Contagem

   • De acordo com o princípio fundamental da contagem, se um evento é composto por duas ou mais etapas sucessivas e independentes, o número de combinações será determinado pelo produto entre as possibilidades de cada conjunto.
   • O fatorial é uma ferramenta matemática utilizada na análise combinatória, na determinação do produto dos antecessores de um número maior que 1.
     • Um exemplo de utilização de fatorial está presente no cálculo de anagramas de uma palavra. Lembrando que anagrama é a quantidade de novas palavras formadas com ou sem sentido, utilizando as letras de outra palavra.

2. Permutações

   • Permutar elementos significa trocá-los de posição. A maneira de calcular as possibilidades de fazer isso, vai depender da natureza dos elementos que a serem permutados.
     • PERMUTAÇÕES SIMPLES
       • Uma permutação de n objetos distintos é qualquer agrupamento ordenados desses objetos, de modo que, se denominarmos Pn o número das permutações simples dos n objetos, então: Pn = n!
         • De fato, imaginemos que dispomos de n objetos distintos para serem colocados em fila, ocupando n posições. Pelo Princípio Multiplicativo, temos n objetos para ocupar a 1a posição. Ocupada a 1a posição com um objeto, a 2a posição pode ser ocupada por qualquer um dos n – 1 objetos restantes. Daí, ocupada a 2a posição, a terceira posição pode ser ocupada por qualquer um dos n – 2 objetos restantes. Repetindo esse raciocínio até o último objeto, restará para ele a última posição da fila. Logo, pelo Princípio Multiplicativo, teremos: n . (n – 1) . (n – 2) . (n – 3) . … . 3 . 2 . 1 que é exatamente o mesmo que escrever n!
     • Permutação com repetição
       • Uma permutação com elementos repetidos acontece quando em um conjunto de n elementos, alguns destes são iguais.
         • Na fórmula para determinar o número de permutações com repetição, dividimos o fatorial do número total n de elementos, pelo produto entre os fatoriais dos elementos que se repetem.
     • Permutação Circular
       • Permutação circular é um tipo de permutação composta por n elementos distintos em ordem cíclica (formando uma circunferência).

3. Combinação simples

   • Combinação simples é um tipo de agrupamento no estudo sobre análise combinatória. Os agrupamentos formados com os elementos de um conjunto serão considerados combinações simples se os elementos dos agrupamentos diferenciarem apenas pela sua natureza.

4. Arranjo simples

   • O arranjo simples é um tipo de agrupamento estudado na análise combinatória. Conhecemos como arranjo todos os agrupamentos formados com n elementos tomados de k em k, sabendo que o valor de n > k.
     • Para diferençar o arranjo dos outros agrupamentos (a combinação e a permutação), é importante compreender que, na combinação, a ordem dos elementos no conjunto não é importante e que, no arranjo ela é. Além disso, na permutação, todos os elementos do conjunto estão envolvidos, já no arranjo, escolhemos parte do conjunto, no caso, expresso por k elementos do conjunto.

5. Binômio de Newton

   • Binômio de Newton é qualquer binômio elevado a um número n em que n é um número natural. Graças aos estudos do físico Isaac Newton sobre as potências de binômios, foi possível verificar regularidades que facilitam a representação do polinômio gerado a partir da potência de um binômio.
     • Triângulo de Pascal
       • O triângulo de Pascal foi desenvolvido por Blaise Pascal durante o estudo das combinações. Ele é um caminho que torna os cálculos das combinações mais fácil. A utilização do triângulo de Pascal faz com que seja mais rápido e mais fácil encontrar os coeficientes das partes literais de um binômio de Newton sem ter que calcular todas as combinações.
     • Fórmula do Binômio de Newton
     • Termo geral do binômio de Newton
       • O termo geral do binômio de Newton é uma fórmula que nos permite calcular um termo do binômio sem precisar desenvolver todo o polinômio, ou seja, podemos identificar qualquer um dos termos do primeiro ao último. Com a fórmula, calculamos diretamente o termo que estamos procurando.

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