Produtos Notáveis

Produtos Notáveis

1. O que é?

   • Produtos notáveis são multiplicações em que os fatores são polinômios. Existem cinco produtos notáveis mais relevantes: quadrado da soma, quadrado da diferença, produto da soma pela diferença, cubo da soma e cubo da diferença.
     • Quadrado da soma:
       • Os produtos entre polinômios conhecidos como quadrados da soma são os do tipo: (x + a)(x + a)
         • A solução desse produto notável sempre será o polinômio a seguir: (x + a)² = x2 + 2xa + a². Esse polinômio é obtido por meio da aplicação da propriedade distributiva da seguinte maneira: (x + a)² = (x + a)(x + a) = x² + xa + ax + a² = x² + 2xa + a²
     • Quadrado da diferença
       • O quadrado da diferença é o seguinte: (x – a)(x – a) Esse produto pode ser escrito da seguinte maneira por meio da notação de potências: (x – a)²
         • O seu resultado é o seguinte: (x – a)² = x² – 2xa + a² Perceba que a única diferença entre os resultados do quadrado da soma e da diferença é um sinal negativo no termo do meio.
     • Produto da soma pela diferença
       • É o produto notável que envolve um fator com uma soma e outro com uma subtração. Exemplo: (x + a)(x – a). Não há representação em forma de potência para esse caso, mas sua solução sempre será determinada pela seguinte expressão, também obtida com a técnica do quadrado da soma: (x + a)(x – a) = x² – a²
         • Como exemplo, vamos calcular (xy + 4)(xy – 4). (xy + 4)(xy – 4) = (xy)² – 16². Esse produto notável é ensinado da seguinte maneira: O quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo.
     • Cubo da diferença
       • O cubo da diferença é o produto entre os seguintes polinômios: (x – a)(x – a)(x – a) Por meio da propriedade distributiva e simplificando os resultados, encontraremos o seguinte resultado para esse produto: (x – a)² = x² – 3x2a + 3xa² – a²
       • Vamos calcular como exemplo o seguinte cubo da diferença: (x – 2y)³ = x³ – 3x²2y + 3x(2y)² – (2y)² = x² – 3x²2y + 3x4y² – 8y² = x² – 6x²y + 12xy² – 8y²
     • Cubo da soma
       • Com a propriedade distributiva, é possível criar uma “fórmula” também para produtos com o seguinte formato: (x + a)(x + a)(x + a) Na notação de potência, ele é escrito da seguinte maneira: (x + a)3
       • Por meio da propriedade distributiva e simplificando o resultado, encontraremos o seguinte para esse produto notável: (x + a)3 = x3 + 3x2a + 3xa2 + a3